jueves, 12 de julio de 2007

El espejo hexagonal


En la casa donde estoy pasando unos días hay un interesante espejo hexagonal con marco también hexagonal. Se me ocurría que se podía utilizar para un problema, que finalmente he decidido plantear así:

Un carpintero recibe el encargo de poner un marco a un espejo hexagonal con la condición de que la superficie de madera debe ser la misma que la superficie del espejo que le entregan. ¿Cuál deberá ser el ancho del marco? (entendiendo por ancho la mínima distancia de cualquier punto del perímetro del espejo al borde del marco).

Si se hace sin calculadora, mejor.. ¿Podrá el carpintero construirlo sin reglas graduadas?

Otras extensiones del problema: si el espejo tuviera otra forma regular, el espejo que cumpliera la condición de superficie, ¿sería más o menos ancho que el hexagonal?

9 comentarios:

Martín C. C. dijo...

Bueno, supongo que sin las medidas no se podría hacer exactamente.

Cada segmento del marco tendría que tener exactamente el mismo área que 1/6 del hexágono, o lo que es lo mismo, el área de uno de los seis triángulos en los que se divide.

La cosa quedaría así:

A triangulo = A segmento

Juan Luis Roldán dijo...

Claro, no hay medidas, busco que se calcule el ancho del marco en función del lado del espejo...

manu dijo...


.8 * (Radio del hexagono)

Miguel_del_IBEX dijo...

El área del hexágono es 6 veces la de un triángulo equilátero (cuyo lado es el radio), y el área del triángulo es proporcional a L^2

Si buscamos un hexágono de espejo con área = mitad de área del hexágono total (espejo+marco)...
Aespejo = Atotal /2
K*Le^2 = (K*Lt^2)/2

Entonces Le = Lt / sqrt(2)

Le = Lt * 0,707...

Juan Luis Roldán dijo...

Si he entendido bien tu notación, bien Miguel

Guillermo dijo...

Estoy de acuerdo con miguel de ibex, solo cambiaria el K por (sqrt(3)/2).

Se podria construir sin reglas, mediante relaciones. haces un triangulo rectangulo donde los catetos valgan l, entonces la hipotenusa tiene el valor de L.

Juan Luis Roldán dijo...

Eso es, Guillermo, esa es la idea que yo tenía...

manu dijo...


Le = Lt * ( ((2)^(1/2)) - 1 )

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