martes, 3 de julio de 2007

Las cerillas de Perelman y la solución egipcia

Yacov Perelman (1882 -1942) fue uno de los grandes divulgadores de ciencia y matemática. En Libros Maravillosos se pueden encontrar archivos con muchas de sus obras (junto con otras de otro autores)

De Perelman rescatamos hoy el siguiente problema, que resumimos así:

"Con doce cerillas puede construirse la figura de una cruz como la de la figura, cuya área equivale a la suma de las superficies de cinco cuadrados hechos también de cerillas. Cambiar la disposición de las cerillas de tal modo que el contorno de la figura obtenida abarque una superficie equivalente sólo a cuatro de esos cuadrados"

Pero, más allá de Perelman, os proponemos varias apmpliaciones: ¿qué otros valores de áreas distintos a 5 o 4 se pueden conseguir (sin que haya cerillas "sueltas" ni "pegadas una con otra")

Es más, ¿cuál es el área máxima que se puede conseguir? ¿Cuál sería la mínima?

Y por si fuera poco, ¿cuál de esas soluciones es "la egipcia"?

4 comentarios:

Eduardo dijo...

La forma más sencilla que se me ocurre (¿egipcia?) sería desplazar la cerilla del extremo de un brazo de la cruz hacia dentro, de forma que ese brazo queda "cortado" y dos cerillas "abiertas apuntando hacia fuera", pero entiendo que esa no es una respuesta válida porque esas cerillas realmente no forman parte de una figura cerrada...

La siguiente solución que entiendo que cumple las condiciones implícitas del problema es "invertir" un brazo de la cruz hacia dentro (movemos 3 cerillas), a la vez que "sacamos" hacia fuera uno de los ángulos entre brazos opuestos al invertido formando un vértice nuevo en forma de esquina (moviendo otras dos). Quedaría una "L" de 3 unidades y unida por un vértice, otra unidad en diagonal.

Otras figuras serían: área cero (todas las cerillas en línea), área 3 (a partir de la cruz, invertimos un brazo hacia dentro), área 4 (la que se pide en el problema), área 5 (la cruz), áreas 6, 7, 8 y 9 (vamos estirando uno por uno cada uno de los ángulos entre brazos de la cruz formando vértices "externos" hasta llegar a un cuadrado de 3x3), y finalmente (desprecio otras figuras de áreas intermedias), la mayor posible, expandir el cuadrado hacia la figura más similar al círculo posible: un dodecágono regular, de área aproximada 11,2 (=3/tg(pi/12))

Cabrían soluciones más imaginativas si nos abrimos una dimensión, y formamos, por ejemplo, un cubo regular de base 1, una "tienda de campaña" de base rectangular de área 2, o pirámides regulares (o no tan regulares) de bases variadas... incluso cualquier objeto 3D (o más!) de 12 aristas, podría darnos "bases" e incluso secciones de diversas formas y áreas !

Juan Luis Roldán dijo...

¡Exhaustivo comentario, Eduardo! Y soluciones realmente interesantes

La "egipcia" es una solcuión legal y su nombre se debe a razones históricas del uso de esa figura...

Y faltaría otra de 4 "legal" que es la que pidió Perelman (y que se consigue a partir de la "egipcia")

estoicastico dijo...

La solucion de area 4 (no se si la egipcia o la de Perelman) es el triángulo rectángulo de catetos 3 y 4 e hipotenusa formada por 5 cerillas. Esto tendría área 6. Si en la esquina del ángulo rectángulo introduces hacia el interior de la figura una cerilla por el cateto de lado 3 y dos por el del lado 4, obtienes una figura de área 4. ¿Se me entiende?

Juan Luis Roldán dijo...

Se te entiende muy bien, estoicastico. La egipcia es el triángulo 3,4 y 5 que históricamente se utilizó para formar esquinas rectas en las reconstrucciones de terrenos tras las crecidas del Nilo.

Y la que propone Perelman de área 4 es la que tu mencionas. Así que, todo solucionado