La misma persona que me habló del problema de ¿Cuántas monedas tienes? me comentó otro también aparecido en El País en el que se trata de colocar las cifras del 1 al 9 en una cuadrícula de 3x3 de manera que:
- Tanto la primera fila como la primera columna sume 14
- Tanto la segunda fila como la segunda columna sume 15
- Tanto la tercera fila como la tercera columna sume 16
Lo que llama la atención es que de alguna manera este cuadrado no está equilibrado sino que asciende según la diagonal principal.
El problema se puede resolver tras algunos intentos. Lo que planteaba este buen amigo nuestro es: ¿se puede llegar a la solución de forma razonada, es decir después de una serie de pasos lógicos que nos lleven a una solución o a un conjunto de soluciones?
Yo lo intenté y aunque realicé algunos pasos razonados, la solución llegó después de algún "salto en el vacío"...
martes, 28 de agosto de 2007
Cuadrado pseudomágico
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12 comentarios:
Este es el pasatiempo en el que te comenté un tiempo atrás que no se tenía en cuenta el tipo de operación y si el orden. Saludos
Ah, Osnacla, ya encontré el comentario que mencionas, pero eran sólo sumas, ¿no?
Ups! creo que son juegos distintos! El que yo hablaba era cualquier número y había divisiones y multiplicaciones. Me confundió lo de "El País" porque me sonaba que también era de ese periódico. Perdón por la confusión
He parado al encontrar una solución:
1 4 9
7 3 5
6 8 2
Solución correcta, Jorge, a ver si a alguien se le ocurre un "proceso lógico para hallarla"
Yo escribí primero las combinaciones de sumas posibles, y después las fui ``montando''.
sea la resolucion
a b c
d e f
g h i
tenemos a+b+c=14
pero tambien que el resto
d+e+f+g+h+i=(45-14)
junto a la columna
a+d+g=14
tenemos tres ecuaciones. repitiendo para las demas filas y comumnas obtenemos 9 ecuaciones.
se comprobaria si el determinante es no nulo y a resolver. (pendiente)
Muy interesante planteamiento, Antonio...
Antonio, el determinante es nulo, seguro, sin calcularlo.
Es fácil saberlo porque unas ecuaciones pueden salir de otras.
(es decir, no son independientes... o, dicho con términos más matemáticos, tienen dependencia lineal: unas se pueden obtener como combinación lineal de otras )
ej:
E1: a+b+c=14
E2: d+e+f+g+h+i=(45-14)
E3: d+e+f=15
E4: g+h+i=16
Se ve claro que E2=E3+E4
Otra forma de saber seguro que el determinante no es cero es que hay más de una solución. Sea una solución:
abc
def
ghi
una solución, también será solución
a, d, g
b, e, h
c, f, i
Del enunciado se ve bastante claro que no hay más de 6 ecuaciones independientes, y 9 incógnitas... así que en teoría habría infinitas soluciones... en dimension 3, es decir, necesitamos definir 3 para poder (quizá) calcular los 6 restantes. (ej: definiendo a,e,i)
Pero hay algo que hace que no sean infinitas: la restrictiva condición de ser números enteros, diferentes y acotados de 1 a 9.
Como máximo, las permutaciones de 9 elementos (9! = más de 300000)...
Cómo llegar a una solución:
Pensé que 8,7,9 no pueden coincidir en ninguna fila ni columna... Pero vi que 8 y 7 sí, combinando con el 1: 8+7+1 =16
Así que ya tendría la tercera fila: 7-8-1 ó 8-7-1 ó 1-7-8 ... etc, pero dado que el 9 no puede estar con 7 ni 8, sólo queda la columna del 1. ej: c=9
_ _ 9
_ _ _
7 8 1
_ _ 9
_ _ 6
7 8 1
Como 1,2,3 también tienen problemas de estar juntos, salvo 2 y 3 con 9... los coloco así, repartiendo el 2 para el 8 y el 3 para el 7... Y se llega a:
3 2 9
4 5 6
7 8 1
Otra solución similar: colocando 871 en la última fila (en lugar de 781):
2 3 9
4 5 6
8 7 1
(me gustan estas dos soluciones porque tienen el 5 en el centro, que era algo que buscaba yo al principio)
Si en lugar de colocar el 9 en la primera fila lo coloco en la segunda... tendrá que combinarse con dos que sumen 6: 2 y 4
3 5 6
4 2 9
8 7 1
No es solución: cumple las filas pero no las columnas... Y no hay forma.
Pero con el 781 sí hay solución:
3 5 6
4 2 9
7 8 1
Probando con 1,7,8 :
9 3 2
4 5 6
1 7 8
La solución de Jorge demuestra que hay soluciones donde no se juntan 7,8,1 en una columna ni fila.
Esta es otra que encontré:
8 5 1
2 7 6
4 3 9
pero reconozco que me basé en la de Jorge... adivinen cómo.
Brillante análisis, Acid
Gracias, Juan Luis.
Corrijo alguna cosa y añado más.
Donde dije: "se ve bastante claro que no hay más de 6 ecuaciones independientes" en realidad, son 5 ecuaciones independientes (creo que menos ya no), ya que una de ellas se puede obtener de las demás.
Las 6 que dice claramente el enunciado son:
E1: a+b+c = 14
E2: d+e+f = 15
E3: g+h+i = 16
E4: a+d+g = 14
E5: b+e+h = 15
E6: c+f+i = 16
Pero E6 se puede obtener de las anteriores:
E6 = E1+E2+E3 -E4-E5
Si no me equivoco son 5 ecuaciones independientes (matriz de rango 5) y como son 9 incógnitas, la solución es un subespacio (o hiperplano) de dimensión 4. La intersección de este hiperplano con las permutaciones de los enteros {1,2,3,4,5,6,7,8,9} sería la solución.
Una vez exploradas las soluciones donde el 7 se alinea con el 8...
El resto de soluciones deben tener a 7, 8 y 9 en filas y columnas diferentes.
Hay varias formas de hacer esto:
* _ _
_ * _
_ _ *
abc
def
ghi
Hay 6 posibles formas de colocar 3 elementos sin que coincidan en fila o columna:
aei
afh
bdi
bfg
cdh
ceg
Para cada una de ellas hay 6 formas:
789
798
879
897
978
987
Por otro lado, comentar que también 1,2 y 3 tienen una problemática similar (análoga o incluso se puede decir que simétrica...). Si están juntos es difícil que se alcancen las sumas pedidas, salvo que sea la suma menor (14) y sean los los dos mayores (2 y 3): 2+3+9 = 14
El resto de soluciones tiene 7-8-9 no coincidentes y 1-2-3 no coincidentes (y por tanto 4-5-6 no coincidentes).
RESUMEN: Si no me equivoco habría 3 tipos de soluciones:
* Primero, las de tipo {7,8,1} en la fila 3 (y por simetría las de {7,8,1} en la columna 3).
* Segundo, las de tipo {2,3,9} en la fila 1 (o columna 1), que por otro lado se emparejan una a una con las {7,8,1} según otro tipo de simetría que dejo que alguien adivine (por cierto, hay un caso al menos que es {7,8,1} y también {2,3,9}: 3-2-9 4-5-6 7-8-1).
* Tercero, las restantes (ni {7,8,1} ni {2,3,9}) que deben tener separados tanto los {7,8,9} como los {1,2,3} y tambien por eliminación los {4,5,6}.
El primer tipo de soluciones ya le exploré casi completamente, el segundo es análogo al primero. Y el tercero puede explorarse de la forma que expuse: 6 formas de colocar 3 elementos ({7,8,9}) * 6 permutaciones diferentes de esos 3 elementos = 36 ... Y cada una de estas se debe ensayar con otras 2 formas posibles de colocar otros 3 elementos ({1,2,3}) en los huecos restantes... con 6 permutaciones... Total: 36*2*6 = 432 posibles soluciones...
Seguramente por simetría con la diagonal principal bastaría con la mitad: 216... y por otro tipo de simetría, la mitad de 216 = 108.
P.D.: Para los cuadrados mágicos tradicionales (suma fila = 15 = suma columna) el análisis sería similar: buscar combinaciones en las que no se junten 789 ni 123 ni 456... (7+8+x siempre excederá 15 y 2+3+x nunca llega a 15...)
Si colocamos el 5 en el centro, el 4 y 6 van en esquinas opuestas (cualquiera, la inversa sería otra solución simétrica)
4 _ _
_ 5 _
_ _ 6
Luego sabemos que el 9 no alinea con el 6 ni el 1 con el 4...
4 9 _
_ 5 _
_ 1 6
4 9 2
3 5 7
8 1 6
Ya tenemos el cuadrado mágico clásico. Y con el 5 en el centro sólo tiene esta solución y alguna simétrica (con giros o reflexión en espejo)
Hola amigos. Me entretuve en sacar todas las soluciones. Creo que están todas y creo que todas son correctas. Si definimos la matriz de esta forma:
a b c
d e f
g h i
las 40 soluciones serían:
a:1 b:4 c:9 d:7 e:3 f:5 g:6 h:8 i:2
a:1 b:7 c:6 d:4 e:3 f:8 g:9 h:5 i:2
a:2 b:3 c:9 d:4 e:5 f:6 g:8 h:7 i:1
a:2 b:3 c:9 d:5 e:4 f:6 g:7 h:8 i:1
a:2 b:4 c:8 d:3 e:5 f:7 g:9 h:6 i:1
a:2 b:4 c:8 d:9 e:5 f:1 g:3 h:6 i:7
a:2 b:5 c:7 d:3 e:4 f:8 g:9 h:6 i:1
a:2 b:5 c:7 d:8 e:1 f:6 g:4 h:9 i:3
a:2 b:8 c:4 d:5 e:1 f:9 g:7 h:6 i:3
a:2 b:8 c:4 d:9 e:1 f:5 g:3 h:6 i:7
a:2 b:9 c:3 d:4 e:5 f:6 g:8 h:1 i:7
a:2 b:9 c:3 d:8 e:1 f:6 g:4 h:5 i:7
a:3 b:2 c:9 d:4 e:5 f:6 g:7 h:8 i:1
a:3 b:4 c:7 d:2 e:5 f:8 g:9 h:6 i:1
a:3 b:4 c:7 d:5 e:2 f:8 g:6 h:9 i:1
a:3 b:4 c:7 d:5 e:9 f:1 g:6 h:2 i:8
a:3 b:4 c:7 d:9 e:5 f:1 g:2 h:6 i:8
a:3 b:5 c:6 d:4 e:2 f:9 g:7 h:8 i:1
a:3 b:5 c:6 d:4 e:9 f:2 g:7 h:1 i:8
a:3 b:9 c:2 d:4 e:5 f:6 g:7 h:1 i:8
a:4 b:1 c:9 d:7 e:6 f:2 g:3 h:8 i:5
a:4 b:7 c:3 d:1 e:6 f:8 g:9 h:2 i:5
a:5 b:2 c:7 d:3 e:4 f:8 g:6 h:9 i:1
a:5 b:2 c:7 d:8 e:4 f:3 g:1 h:9 i:6
a:5 b:3 c:6 d:2 e:4 f:9 g:7 h:8 i:1
a:5 b:8 c:1 d:2 e:4 f:9 g:7 h:3 i:6
a:7 b:1 c:6 d:4 e:9 f:2 g:3 h:5 i:8
a:7 b:4 c:3 d:1 e:9 f:5 g:6 h:2 i:8
a:8 b:2 c:4 d:5 e:7 f:3 g:1 h:6 i:9
a:8 b:5 c:1 d:2 e:7 f:6 g:4 h:3 i:9
a:9 b:1 c:4 d:2 e:6 f:7 g:3 h:8 i:5
a:9 b:1 c:4 d:2 e:8 f:5 g:3 h:6 i:7
a:9 b:2 c:3 d:1 e:6 f:8 g:4 h:7 i:5
a:9 b:2 c:3 d:1 e:8 f:6 g:4 h:5 i:7
a:9 b:2 c:3 d:4 e:5 f:6 g:1 h:8 i:7
a:9 b:2 c:3 d:4 e:6 f:5 g:1 h:7 i:8
a:9 b:3 c:2 d:4 e:5 f:6 g:1 h:7 i:8
a:9 b:4 c:1 d:2 e:5 f:8 g:3 h:6 i:7
a:9 b:4 c:1 d:2 e:6 f:7 g:3 h:5 i:8
a:9 b:4 c:1 d:3 e:5 f:7 g:2 h:6 i:8
A ver si les sirve para sacar alguna conclusión adicional. Saludos.
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