martes, 2 de octubre de 2007

La prueba del siete


Hablando de las pruebas de divisibilidad, comentaba a los alumnos que no hay una prueba sencilla (que compense no hacer la división) para ver si un número es divisible por 7. Eso sí, les animé a buscar información sobre ella y un alumno trajo la siguiente (que yo no recordaba):

"Se multiplica la última cifra del número por dos y el resultado se resta al número que queda al quitar esa última cifra. Si queda un número múltiplo de 7 el original lo es".

Es decir, dado 679:

9x2=18, 67-18=49, que es múltiplo de 7, por lo que 679 lo es.

Yo añadiría que, si el resultado es cero, el número también es múltiplo de 7. Por ejemplo 147 (que lo es): 7x2= 14, 14-14=0.

Ahora bien, ¿por qué funciona esta regla?

7 comentarios:

Acid dijo...

Si funciona es porque todos los números de la forma (2a)(a) son múltiplos de 7... (siendo a el último dígito)

Por tanto, si a un número le quitamos un múltiplo de 7, seguirá siendo o no múltiplo de 7 (el resto de dividir por 7 no cambia)

Ahora bien, ¿qué es un número de la forma (2a)(a)? Pues es:
2*a*10+a

Es decir, no es otra cosa que 21*a
Así que efectivamente 7*3*a siempre es múltiplo de 7.

En el ejemplo: dado 679:
9x2=18, 67-18=49

Es como decir: 679 - 21*9 = 670 - 20*9 = 670 - 180 = 490

Lógicamente al restar 21*a, siempre en la resta la última cifra es cero, y podemos dividir por 10... y así hasta agotar todas las cifras.

Progongo que pensemos en otros métodos para comprobar otros múltiplos... basándose en números que acaben en 1: 11, (21), 31, 41, 51 (mútiplos de 17 !)...

goyo lekuona dijo...

Tomemos un número X que es el que queremos analizar, de manera que sea igual a 10Y+Z (esto es,el número X es YZ) de manera que si al aplicar la regla Y - 2Z nos da un multiplo de 7 ( llamemosle 7n), como Y-2Z=7n, despejando la Y = 2Z +7n. De manera que tenemos X=10Y+Z, sustituyendo queda X= 10(2Z+7n) + Z, operando queda

X = 20Z + 70n + Z => X = 21Z + 70n de manera que X = 7 ( 3Z + 10n) de manera que también es multiplo de 7, no?

Un saludo

Juan Luis dijo...

Gracias por las demostraciones y queda recogido el reto de Acid...

Carlos dijo...

Yo siempre me he preguntado por qué al sumar las cifrás de un múltiplo de 3 el resultado es múltiplo de 3 y resulta que está relacionado con el 9 y con la base 10 que es en la que sumamos. Parece que si utilizamos una base N, la suma de las cifras de un número múltiplo de N-1 da como resultado un múltiplo de N-1

En el caso del siete si utilizamos una base octal para sumar, pasa igual que con el 9 (y el 3).
ejemplo:
679 en octal: 1247
suma de las cifras=14 -> múltiplo de 7

105 en octal: 151
suma de las cifras=7 -> múltiplo de 7

2261 en octal: 4325
suma de las cifras=14 -> múltiplo de 7

224 en octal: 340
suma de las cifras=7 -> múltiplo de 7

Interesante verdad?
Esto lo he sacado de cosecha propia pensando un poquito, pero no me he parado a demostrarlo. Me encantaría ver una demostración formal al respecto.

Un saludo,

Carlos

Juan Luis dijo...

Pues sí que es interesante, Carlos. Un saludo

Acid dijo...

Carlos, interesante comentario.

Primero, una demostración aligerando formalidades:
Un número n es múltiplo de otro p si el Resto de n/p es cero.
Por ejemplo, cada número tiene un Resto al dividir por 9. Pero se ve claro que en 9 da Resto 0 y en 10 da Resto 1 (10 = 9+1)... En 99 da Resto 0 y en 100 da Resto 1. Se ve claro, que en cada cifra, al aumentar en una unidad el Resto aumenta también en una unidad. Ej: si aumentamos las decenas de 10 a 20 hemos pasado de Resto 1 a Resto 2 (20 = 18 + 2)...
Cualquier número, por ejemplo, el 327 puede entenderse como 300 + 20 + 7 = 3*100 + 2*10 + 7 = "3 veces aumento el Resto una unidad + 2 veces aumento una unidad + 7 veces aumento una unidad"... Es decir, lo que hago es sumar 3+2+7 = 12. Así que nos hemos desplazado 12 unidades por encima de un multiplo de 9 (en concreto el 3*99 + 2*9 + 0)... nunca sumando 12 llegamos a otro múltiplo de 9... sumando (o restando) 9 llegamos de un múltiplo a otro, pero sumando 3 más nos quedamos a medias.

Para cualquier base N que no sea 10, siempre N-1 es el que está antes de (10)N, es decir, por cada cifra de un número en esa base contribuye a aumentar el Resto exactamente tanto como el valor de la cifra. Sumando los desplazamientos, es decir, sumando las cifras, podemos saber si es múltiplo.
Con el 3 ocurre algo parecido: el Resto de 10 sobre 3 es 1... igual que en 100 sobre 3... así que cada cifra contribuye en 1. La suma de ellas indica cuanto nos desplazamos sobre un resto 0. Si ese desplazamiento es múltiplo de 3 resultará un múltiplo de 3.

El caso de múltiplos de 11 es similar, sólo que 11 está un lugar por encima de 10, es decir, al dividir 10/11 da resto 10 (que también podríamos llamarlo "-1": uno menos que el resto nulo) pero 99/11 da resto 0... así que 100 /11 da resto 1. Las cifras impares suman 1 al resto y las pares lo restan... Esto del 11 es algo que ocurre en otras bases (múltiplos de N+1): 77_8 (octal) es 63_10 = 9_10 * 7_10 = (8+1)_10 * (8-1)_10 es múltiplo de 11_8 así que las cifras impares añaden al Resto y las pares restan.

Las reglas de los múltiplos de 2, de 5 están claras ¿no? (sumar a*10^n no nos desplaza del resto nulo, salvo cuando n=0, es decir la última cifra)

Ya tenemos 2,3,5,7,9,11...

Lo que nos contaron en el colegio como dogma de fe, ya tiene explicación. jejeje (para mi era algo mágico que funcionaba sin saber por qué)


AHORA ALGO MÁS DURILLO:

Supongo que una demostración formal podría ir por la Teoría de Grupos... y en concreto Grupos Abelianos (aquellos con propiedad conmutativa en la operación, y que al ser conmutativa se representa por un +). En especial, los cíclicos (grupos especiales donde todos los elementos se generan sumando el mismo elemento n veces) y todo grupo cíclico finito es isomorfo ("equivalente en todo: elementos y operaciones") a unos grupos llamados "Congruencia módulo n", que vienen a ser clases de equivalencia del resto al dividir por n.
Son n elementos: 0, 1... (n-1)
No existe elemento n pues es el 0 (el Resto de dividir n/n es 0)

De esta forma, cualquier número entero (ej: el 327) tiene una clase de equivalencia módulo_9. Su resto al dividir por 9 es 3 y esto le hace "equivalente" a todos los enteros cuyo resto es 3. "100" equivale a 1(mod9), 10 equivale a 1(mod9)... 327 = 3*100+2*10+7 =
3 * 1(mod9) + 2 *1(mod9) + 7 * 1(mod9) = 3 + 0 = 3(mod9)

Esto también puede hacerse con el 7... 10mod7 = 3mod7 (las decenas valen por 3 en mod7)
100mod7 = 2mod7 (las centenas valen 2)
1000 mod 7 = 6mod7 (los "miles" valen 6)

Así que para números abcd (4 cifras) hacemos: a*6+b*2+c*3+d y si sale múltiplo de 7, abcd será mútiplo de 7. !!!

Ejemplo: primer múltiplo de 7 por encima de 1110,
6+2+3 = 11, para llegar a 14 =7*2 necesitamos 3
así que 1113 es mútiplo de 7 !!!

1113 = 7*159

Pero, esto sólo serviría para 4 cifras... ¿y si seguimos? Para saber el resto de 10^n entre 7...

n: 0 1 2 3 4 5 6
R: 1 3 2 6 4 5 1...

Lógicamente, como mucho sólo puede haber 7 restos diferentes, pero hay 6 diferentes porque falta el resto R=0 (ninguna potencia de 10 es múltiplo de 7). A partir del millón empiezan a repetirse...
Esto significa: Un número de m cifras puede trocearse en m/6 números de 6 cifras... que se suman. Y en el resultado ABCDEF aplicar la fórmula:

5 *A +4 *B +6 *C +2 *D +3 *E +1 *F


Y ya sabemos otra cosa: las operaciones con enteros se pueden transformar en operaciones de un grupo de un reducido número de elementos.
si n = a*B + c*D , entonces :
n (mod7) = a*(B_mod7) + c*(D_mod7)

Y de esta forma saber propiedades de esos enteros con operaciones sencillas que reducen números en otros más pequeños.

Anónimo dijo...

Carlos que es un octal?