martes, 23 de octubre de 2007

Tropezando con el infinito: el desenlace

Gracias por la enorme participación de Tropezando con el infinito (con la inestimable ayuda de la mención en Microsiervos).

Han sido tantos los comentarios que trato de resumir conclusiones y respuestas:

En mi opinión no existe ese número que sea el mayor que se redondea (hasta las décimas) como 4,3. Parece claro que debe empezar con 4,349 y que a la vez puedo añadirle tantos nueves como quiera. Pero está el problema de que si "alcanzo el infinito" (valga la expresión) 4,34999... (con decimal periódico) ya es ¡4,35! que se redondea como 4,4.

-Ha habido comentarios que coincidían con esta idea, algunos de razonamiento muy elegante.

- Hay quien duda de que 4,34999... sea igual que 4,35. Si no es así, ¿qué otro número está entre ellos?

- Varios han coincidido en 4,3444444..., pero por ejemplo 4,345 es mayor y se redondea (¡hasta las décimas!) como 4,3.

- Me parecen más lógicas las dudas de si no hay que aplicar directamente la regla del redondeo a 4,34999... y, como tiene un 4 después del 3, redondearlo a 4,3, per a su vez comparto la salvedad de que no parece lógico redondear la expresión infinita teniendo la equivalencia finita (4,35)

-Y otra cosa, a mí hace años me enseñaron a redondear 4,35 como 4,3 y cualquier otro número por encima (4,3500000000000001 p.e.) ya como 4,4. Y así lo expliqué durante años... hasta que llegó el euro.

En fin, que nunca pensé que una duda surgida en clase diera tanto juego, pero por supuesto, me alegro enormemente...

Saludos a todos los redondeadores y perdonad si he omitido alguna idea importante.

4 comentarios:

Borja C dijo...

Una manera de formular la pregunta que no encontré ayer es:

¿Cuál es el mayor número que pertenece al intervalo

[-Inf , 3.5 )

(abierto por la derecha). El supremo del intervalo es 3.5, que no pertenece al conjunto.

Por definición, para cualquier otro elemento menor que 3.5, existirá otro elemento del conjunto mayor, y por tanto no podrá ser el máximo.

broz dijo...

Por el absurdo (http://en.wikipedia.org/wiki/Reductio_ad_absurdum).
Supongamos que X es el mayor número que redondea a 4.3
Sea Y = (X + 4.349^) / 2, de esta forma X < Y < 4.349^, luego Y se redondea a 4.3 (*) y es mayor que X. Absurdo ya que X era el mayor, por lo tanto no existe tal número!

(*) Por qué Y se redondea a 4.3? La clave de esta demostración es probar también que 4.349^ es el primer número que se redondea a 4.4 , de esta forma si probamos eso entonces Y < 4.349^ no podría redondear a 4.4 ya que es menor que el primer número que redondea a 4.4

4.349^ es el número mas pequeño que redondea a 4.4:
Esto se puede comprobar sencillamente viendo la definición de redondeo(http://en.wikipedia.org/wiki/Rounding). Teniendo en cuenta que 4.349^=4.35 (esto está matematicamente demostrado también :D) para redondear a 4.4 deberiamos fijarnos que la centésima sea al menos un 5, entonces 4.35 resulta el menor número que redondea a 4.4 ya que si el número fuese menor obligadamente debería ser de la forma 4.34.... lo cual redondea a 4.3

Así calculo que puede ser una demostración para el asunto (y bastante sencilla de leer). Por favor que alguien la compruebe :D y con esto ya podríamos dejar de especular.

bye

Anónimo dijo...

El mayor número posible es C, siendo C=A-B donde A es 4.34999... y B es 0,000...1

(4,3499...9)-(0,000...1)=4.3499...8

Carlos Ferrera

Juan Luis dijo...

Claro, Carlos, pero es que 4.3499...8 ¡no existe!