domingo, 4 de noviembre de 2007

Resultado a la carta

Piensa un número, el que quieras. Ahora, obtenlo como resultado usando sólo ceros y, eso sí, las operaciones matemáticas que quieras.

Inspirado en otro de BrainBashers , que no enlazo directamente porque aparece la solución.

Para los que tengáis la respuesta sin apenas pensar, aquí tenéis una "ampliación", cuando digo el número "que quieras", ¿es realmente "el que quieras" (quizá sí más de lo que se pueda pensar) o hay alguna limitación?

Actualizaciones: salen algunos temas y polémicas, algunas esperadas y otras no tanto.

- Esta mañana vi el comentario de Marco de 0^0=1, que me dejó un poco pensativo, aunque las calculadoras le dieran la razón. El enlace de Gaussianos que propone Acido es muy ilustrativo al respecto: es "un buen valor de convenio"

- Mis "tiros" iban hacia 0! aunque entiendo que la frontera entre operación matemática (n!) y función (como el coseno) puede ser discutible...

- Y cada vez pienso con más seguridad que la mayoría de los números reales (no sólo enteros) pueden obtenerse de esta forma, pero que habría ciertas excepciones... ¿Cuáles?

-No he encontrado la referencia original de Brainbashers pero esta es la que incluye con solución (me sirvió de inspiración ya que proponen algo mucho más concreto). Creo que no incluye comentarios.

-En fin, muy interesante...

14 comentarios:

Marco dijo...

Pensé en el número cero:


0 + 0 = 0

yeah!

Marco dijo...

Tambien puedo obtener el número uno:


0^0=1 (cualquier número elevado a la cero da uno)

Juan Luis dijo...

Bien, Marco, buenas ideas para empezar...

Héctor dijo...

No es cierto que cualquier número elevado a 0 sea uno. Es cierto para todos los números diferentes de 0 o de infinito.

De hecho hace poco ha habido revuelo en el mundo matemático porque un tal Anderson ha "inventado" un símbolo llamado "nullity" q se supone q representa el valor 0^0

http://en.wikinews.org/wiki/British_computer_scientist's_new_%22nullity%22_idea_provokes_reaction_from_mathematicians

En realidad para conseguir cualquier número es tan fácil como sumar (o restar) cero factorial (equivalente a 1) 0! ese número de veces.

Un saludo

Héctor dijo...

Por cierto, no encuentro la página del problema original de BrainBasher, es que me gustaría ver las soluciones de los demás y tal :)

Anónimo dijo...

0^0 no está definido. Podemos conseguir el uno con el factorial: 0! = 1

Anónimo dijo...

0^0+0^0=2

Acido dijo...

¿seguro que 0^0 es 1?

Porque cero elevado a "cualquier número" es cero... ¿cómo puede ser 1 entonces?


Yo creo que 0^0 es indeterminado... como 0/0 (cero dividido por cualquier número es cero, pero cualquier número dividido por cero es "infinito"...) Así que 0/0 no es ni 0 ni infinito... se puede decir que es indeterminado o que no existe, no está definida la operación división cuando el divisor es cero.
Por definición, la división es el número que multiplidado por el divisor da el dividendo. ¿qué número multiplicado por 0 da 1? Ninguno, luego no existe 1/0...
¿qué número multiplicado por 0 da 0? cualquiera, luego no hay solución única... no puedes decir que 0/0 es 1, ni 2, ni 3, ni 0... es como si fuera todos los números a la vez.

a^b por definición, si a y b son enteros es multiplicar b veces a * a ... * a. Pero ¿que es multiplicar cero veces? Como "convenio" o por congruencia, para que funcionen un montón de fórmulas, se considera que es 1.
Pero el caso de 0^0 es especial, porque la congruencia de p^0 = 1 choca con la congruencia de 0^q = 0


Dado que no me convence 0^0
yo usaría el coseno, si es posible, claro: cos(0) = 1

Cualquier número n se conseguiría sumando n veces cos(0).


Si sólo se permite + - * / ^ creo que no tendría más remedio que elegir el 0. Si elijo el 1 u otro número distinto de 0 sería imposible obtenerlo...

Con la función factorial, creo que no habría problema tampoco. Parece más normal definir el valor 0! = 1
sin llegar a contradicción y siendo congruente. ej: 3! = 3*2!
Luego: 1! = 1*0! luego 0! = 1
También por una función más avanzada llama Gamma, cuyo valor para cualquier entero m coincide con m! y que para valores reales tan cercanos a cero como se quiera da valores tan cercanos a 1 como se quiera y además, según su definición, para 0 se obtiene el valor 1.

Acido dijo...

Por cierto, respecto a 0^0 y 0! puede estar interesante este enlace:

http://gaussianos.com/%C2%BFcuanto-vale-cero-elevado-a-cero-%C2%BFy-cero-factorial/

Tampoco hay que hacer caso a la calculadora de Windows, o al límite de x^x cuando x tiende a 0... ya que otros límites dan otros resultados y otras calculadoras dan error.

Acido dijo...

Curiosamente, hoy Gaussianos publica esto:

La función Gamma: una generalización del factorial

que nos viene muy bien para el tema de 0! = 1

Héctor dijo...

Dudo mucho que se puedan obtener todos los números reales de esta forma, ya que, nisiquiera disponiendo de todos los dígitos se pueden representar todos los números reales. Lo que sí se puede hacer es obtener todos los números reales que son representables con la gramática habitual de las matemáticas.

Para ello sólo tenemos que sustituir cualquier aparición de un número racional por el equivalente como suma de ceros factoriales. Por ejemplo:

sqrt((2/3)^3) (siendo sqrt la raíz cuadrada)
sqrt( ((0!+0!)/(0!+0!+0!))^(0!+0!+0!))

prácticamente sólo haría falta poder obtener los números reales que pertenecen a constantes (como pi) para lo que usaremos el arcoseno:

pi = arcsin(0!)

Por otro lado, podemos obtener no sólo los números reales sino también los números complejos para ello sólo debemos obtener i (ya que todo número complejo se puede poner de la forma real+real*i):

i = sqrt(-(0!))

Acido dijo...

Si se admiten series infinitas... sería fácil obtener CUALQUIER
NÚMERO (REAL e incluso complejo)

Y sólo usando +, -, *, / y ^

Basta expresar el desarrollo en serie.

Cualquier número entero se expresa como 0!+ ... +0!

Cualquier fracción es división de enteros, así como los números decimales, ej: 3,14
sería 3 + 1 / 10 + 4 / 100
o bien: 314/100

Para los números irracionales se usaría una serie (infinita)...
a menos que sea una exponencial. Por ejemplo, una raiz cuadrada.
Ej: raiz de 2 = 2^(1/2)
= (0!+0!)^(0!/(0!+0!))

Ejemplos de Series infinitas:

ej: PI = 4 - 4/3 + 4/5 - 4/7 + 4/9 - 4/11 ...

Sería:

PI= 0!+0!+0!+0! - (0!+0!+0!+0!)/(0!+0!+0!) + (0!+0!+0!+0!)/(0!+0!+0!+0!+0!) ...

Número e:
e = Sumatorio (1/n!)
e = 1/1 + 1/2 + 1/(2*3) + 1/(2*3*4) + 1/(2*3*4*5) + ...

e = 0! + 0!/(0!+0!) + 0!/(0!+0!+0!) + 0!/(0!+0!+0!+0!) + ....

Juan Luis dijo...

Sí, yo mis dudas eran precisamente con pi, e y otros números semejantes... Aunque las soluciones que proponéis me han parecido interesantes y válidas me resultan menos "puras" que las que sirven para otros números como raiz(2).

Y muy interesante lo de los complejos. Vaya con el 0!...

Acido dijo...

Perdón, en e me faltó poner factoriales:

e = 0! + 0!/(0!+0!)! + 0!/(0!+0!+0!)! + 0!/(0!+0!+0!+0!)! + ....