martes, 19 de febrero de 2008

Ascensores caprichosos


En el libro "La paradoja del bronce" de Menuel Conthe se propone la siguiente cuestión: dos científicos trabajan en un edificio de seis plantas (más la planta baja). Uno trabaja en la primera planta y otro en la sexta. Como colaboran juntos realizan frecuentes trayectos entre la primera y la sexta.

Pero el que estaba en la primera se quejaba de que el primer ascensor que llegaba casi siempre bajaba, mientras que el que estaba en la sexta se lamentaba de que el primero normalmente subía.

El autor cita a Martín Gardner con la siguiente explicación: el ascensor que espera el primero sólo subirá si tiene la suerte de que esté en la planta baja, 1/6, (descartamos que esté en su propia planta) mientras que en 5/6 de los otros casos bajará. Las mismas cuentas se le asignan por simetría al de la sexta planta.

Se justifica este planteamiento con algunas suposiciones que no incluyo para no condicionar. En cualquier caso, a mí no me convence el planteamiento: creo que no tine lógica esa simetría ni creo que los casos puedan ser equiprobables. ¿Qué pensáis?

10 comentarios:

Tomás dijo...

Yo creo que no tiene lógica, teniendo en cuenta que la entrada a un edificio siempre está en la planta baja, distinto sería si, de las siete plantas, tres, fueran subterraneas, y la entrada, por lo tanto estaría en el centro del edificio.
Por otro lado, tambien hay gente que dice "yo,bajar no, pero subir, siempre subo por las escaleras, se te pone el culo más firme" ;)

goyo lekuona dijo...

Hola a todos:
Hombre, ya puestos se podría suponer que el edificio tiene helipuerto y de esta manera quedaría algo mas simétrico, pues muchos utilizarían el ascensor que sube para salir del edificio, y el que baja para ir hasta su planta.
Pero desde luego vaya nivel de empresa
NaCl U2 Yo!

Odin dijo...

Como ha dicho tomas la entrada esta en la planta baja, y eso es un elemento diferencial que hay que tener en cuenta en la estadística, porque la mayoría de la gente usa el ascensor para entrar o salir del edificio, no para moverse por su interior. Por eso, suponiendo que la mitad de las veces se entra y la mitad se sale, el ascensor estaría en la planta baja aproximadamente el 50% de las veces, no una de cada seis.
La probabilidad de que el ascensor estuviera en alguna de las otras plantas sería entonces de 1/12, no de 1/6.

Fodor Lobson dijo...

Todo bien con los comentarios anteriores lo de la salida en la planta baja es fundamental.

Ahora yo me pregunto... si el edificio tiene 6 plantas... ¿porqué el de la sexta dice que el ascensor está siempre subiendo? ¿subiendo a dónde, si su planta es la última?

Juan Luis dijo...

Perdón, Fodor, efectivamente se refiere a que el está en la penúltima...

Acido dijo...

Supongamos que el edificio es normal, en el sentido de que lo típico es que entren por la planta baja, vayan a su planta y estén en esa planta hasta que vuelven a la planta baja para salir.

También puede variar el comportamiento según algún programa del mecanismo del ascensor... pero voy a suponer que se queda en la planta que está hasta que alguien le ordena ir a otra planta.

Entonces por la mañana si hay 7 plantas y hay una persona a cada planta, el recorrido será:
0 1 0 1 2 1 0 1 2 3 2 1 0 1 2 3 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 6 5 4 3 2 1 0

Tiempo que está en cada planta:
T0= 8
T1= 13
T2= 11
T3= 9
T4= 7
T5= 5
T6= 3
T7= 1

También cuento en cuantos casos está bajando y en cuantos subiendo:
* Planta 1:
subiendo: 7 (elementos 0 1)
bajando: 6 (elementos 2 1)
Hay uno más porque 0-1 incluye a todos los viajes, pero 2-1 hay un caso que no (la gente que va al primero)

* Planta 6:
subiendo: 2 (elementos 5-6)
bajando: 1 (elementos 7-6)

Pero cuidado con el lenguaje del problema. Dice "el que estaba en la primera se quejaba de que el primer ascensor que llegaba casi siempre bajaba, mientras que el que estaba en la sexta se lamentaba de que el primero normalmente subía" así que entiendo que la queja y esos bajaba y subía se refieren a que continúa bajando o subiendo respectivamente.
Así que vuelvo a contar:

* Planta 1:
subiendo: 6 (elementos 1 2)
bajando: 7 (elementos 1 0)
Hay uno más porque 1-2 no incluye la gente que va al primero.


* Planta 6:
subiendo: 1 (elementos 6-7)
bajando: 2 (elementos 6-5)

Así que no deben tener motivo de queja... no sólo no es simétrico en el sentido de equiprobabilidad 1/6 sino que la asimetría les beneficia a los dos para sus desplazamientos 1-6 y 6-1.

Puse el caso de que llegan por la mañana y cada uno va a u planta, pero el caso de la salida es análogo: sólo cambia cuando va sin ocupantes, pero el trayecto es el mismo.

De todas formas, yo he analizado los trayectos en las horas de entrada y de salida. Si se desplazan a horas intermedias cuando no haya otros que usen el ascensor... sólo tendran que llamarlo y no deberían tener queja.


Si suponemos que cuando para está el doble de tiempo:
0 0 1 1 0 0 1 2 2 1 0 0 1 2 3 3 2 1 0 0 1 2 3 4 4 3 2 1 0 0 1 2 3 4 5 5 4 3 2 1 0 0 1 2 3 4 5 6 6 5 4 3 2 1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 7 6 5 4 3 2 1 0 0

T0= 16
T1= 14
T2= 12
T3= 10
T4= 8
T5= 6
T6= 4
T7= 2

Cambian algo los tiempos, afectando sobre todo a T0 pero los recorridos son los mismos.

Bueno, estoy pensando que el análisis que hice por número de casos no es muy correcto.

* Planta 1:

0s0s1s1s0s 0s1b2b2b1b0s 0s1b2b3b3b2b1s0s 0s1b2b3b4b4b3b2b1s0s 0s1b2b3b4b5b5b4b3b2b1b0s 0s1b2b3b4b5b6b6b5b4b3b2b1s0s 0s1b2b3b4b5b6b7b7b6b5b4b3b2b1s0s0s

s:22 (posiciones del ascensor, equiprobables en tiempo, en las que cuando llega el de P1 resulta que luego puede seguir subiendo)
b:50 (posiciones en las que cuando llega el de P1 se supone que cuando llegue a P1 el ascensor debe seguir bajando)

Efectivamente tiene motivo de queja.


* Planta 6:

Casos 0-1, 0-2, 0-3, 0-4, 0-5 no dan problemas... El caso 0-6 es positivo para P6, porque al llegar él lo coge y baja (no es un caso que cuando llegue siga subiendo) y el caso 0-7 es negativo. Intuyo que 0-6 y 0-7 son equiprobables así que P6 no tendría razón en decir que normalmente sube... Incluso el caso "7 7 6" luego baja así que le beneficia.

0b0b1b2b3b4b5b6b 6543210 0s1s2s3s4s5s6s 7b7b6b 5432100

Juan Luis dijo...

Ácido, me perdí un poco en la parte de las s y las b... Por lo demás, exhaustivo análisis, sin duda...

Acido dijo...

Me quedó un poco largo el comentario, pero ya que había escrito diferentes análisis, pues lo he dejado sin borrar nada.

Lo de las s y las b, las he ido poniendo a cada posición del ascensor. s indica que si está en esa posición cuando llegue a esa planta seguiría subiendo y b que seguiría bajando (en el caso de se pare en esa planta, que no subiría ni bajaría, entiendo que s ó b según le interese al científico que se está analizando)

Juan Luis dijo...

Gracias por las aclaraciones, Ácido

Odin dijo...

Ácido, el análisis que has realizado esta muy bien y es muy completo, sin embargo ignora un factor muy determinante que es el tiempo en el que el ascensor no esta en uso. Aunque se acerca mucho al método que podría usarse en caso de disponer de datos reales almacenados por un ascensor.
Yo por mi parte lo enfocaría de una manera un poco distinta.
En primer lugar hay que tener en cuenta que un ascensor no es un fenómeno con una distribución aleatoria homogénea, sino que sigue una ley de comportamiento que varía en función del tipo de uso del edificio (viviendas-oficinas), de la hora del día (hora punta-valle), del día de la semana (laborable-festivo) y de otros muchos factores menos controlables como el clima, las costumbres locales o acontecimientos especiales. Por esta razón, plantearía análisis parciales para situaciones con una ley de comportamiento similar.
Disponiendo de datos experimentales de uso, con una posición y estado asociados instantes de muestreo, yo definiría una serie de parámetros:
-fs (factor de simultaneidad), definido como el numero de instantes en que el ascensor esta en movimiento dividido entre el numero total de muestras.
-fi (factor de uso del piso i) definido como el número de muestras en las que el ascensor permanece parado en el piso i dividido entre el número total de muestras
Si planteamos el problema como un diagrama de árbol para el usuario del piso 1, la primera bifurcación consiste en que el ascensor este en el piso del usuario, en movimiento o estático en otro piso.
Si el ascensor está estático, puede estar por encima o por debajo del usuario, y lo mismo ocurre si esta en movimiento. Este segundo caso es un poco más complejo de evaluar, pues la probabilidad de que este en movimiento en cada piso debería medirse por separado, sin embargo, al ser el factor de simultaneidad por lo general bajo (es menos probable que cuando llames al ascensor este en uso que parado) podemos asumir una probabilidad de que este en movimiento en cada piso igual al factor de uso cometiendo un error pequeño (en realidad el ascensor pasara más veces por los pisos bajos, pues pasa tanto al subir como al bajar).
Según la definición que hemos planteado del problema, la probabilidad de que un usuario en el primer piso se encontrara el ascensor subiendo sería:
(1-f1-fs)*f0+fs*f0
La probabilidad de que lo encontrara bajando sería:
(1-f1-fs)*(f2+f3+f4+f5+f6)+fs*(f2+f3+f4+f5+f6)
Hemos supuesto que se trata de un ascensor con un bajo fs es decir, con pocos usuarios por ascensor y no en hora punta. En otro caso habría que definir los factores de uso en movimiento de cada planta para minimizar el error.