El otro día hablábamos en clase de ecuaciones con infinitas soluciones.
Os pedimos ahora que os inventéis una ecuación que tenga infinitas soluciones y, luego, otra que tenga más soluciones (la verdad es que tengo mis dudas pero entiendo que es posible)
miércoles 12 de marzo de 2008
Más difícil todavía
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17 comentarios:
X = Y; con X e Y enteros.
X = Y; con X e Y reales.
sen(x)=0
y
sen(2*x)=0
Curiosamente, hace poco leí la paradoja del Hotel Infinito, inventada por Hilbert.
http://es.wikipedia.org/wiki/Hotel_infinito
Yo diría que decir "más soluciones" es problemático. Infinito no es un número real o entero y ¿cómo comparas algo con Infinito?.
Algunos inventan sus métricas de cardinalidad de conjuntos y demás... Y ya con una métrica y unas reglas se pueden establecer criterios de comparación. Aunque no se si tiene utilidad.
Interesantes aportaciones.
Las dos del sen(x) tendrían las mismas soluciones, ¿no?
Y yo buscaba un par en las que no hubiera que especificar el tipo de soluciones. Pensaba que por ejemplo x+y=1 tiene infinitas soluciones mientras que en 2x+y=2x+y todos los valores de x e y son solución, con lo que serían "más", ¿no?
Interesante, Juan Luis.
En la primera ecuación, suponiendo que se refiera a un conjunto de 2 dimesiones (x,y) , hay un grado de libertad... una dimensión. Eliges un valor de x y tienes fijado el de y. Y viceversa, eliges y y tienes x.
En la segunda, suponiendo que se refiera a un conjunto de 2 dimesiones (x,y) , hay dos grados de libertad. Aunque elijas un valor de x resulta que y todavía tiene "libertad" para tomar cualquier valor.
Pero... ¿seguro que esta última tiene "más"? Ya dije que preguntarse por mayor o menor cuando hablamos de infinitos es complicado. En conjuntos finitos, si las soluciones de una ecuación son 2 (ej: x^2 = 1) y en otra son 4 ((x^2-10)^2 = 36) está claro que la última tiene más, porque 4 es mayor que 2, pero si una ecuación tiene infinitas y otra tiene infinitas ¿cuál tiene más?
Un criterio suele ser que si se puede establecer una biyección entre los dos conjuntos de soluciones, entonces "la cantidad" de soluciones (o la amplitud del infinito) es igual en ambos conjuntos de soluciones.
Supongamos que tratamos con N^2 es decir, (x,y) son pares de números naturales. Por ejemplo: (0,0), (1,0), (0,-1), (-3,-8)
En la segunda ecuación cualquier par de N^2 es solución... vamos a ver si son numerables, es decir, si podemos diseñar un plan para recorrerlas todas en un orden que podamos contar como los números.
Propongo el siguiente orden: comenzamos por (0,0) y vamos siguiendo un camino de espiral. Avanzamos 1 a la derecha, 1 arriba, 2 a la izquierda, 2 abajo, 3 derecha, 3 arriba... pasando por (0,1), (1,1), (1,0), (-1,1), (-1,0) ...
No habrá ninguno que se nos escape...
Así que el "número" de soluciones N^2 es la misma "cantidad" que el de N+ (naturales positivos)
Y el de la primera ecuación también tiene la misma "cantidad" que el de N+ (naturales positivos)
Sin embargo, si (x,y) son pares de dos números reales... ya no veo tan claro que se pueda hacer una aplicación biyectiva entre la recta unidimensional y el plano bidimensional.
!!!!
Yo al principio pensé como tu, Ácido, ya que es la demostración de que el conjunto de los racionales es numerable, pero efectivamente, luego también pensé que siendo el conjunto de todos los números reales ya no se puede poner en forma de sucesión y por tanto el conjunto de las soluciones de 2x+y=2x+y es un conjunto mayor.
Puede hacerse una biyección entre la recta y el plano. No la recuerdo completamente, pero consiste en, por ejemplo, hacer corresponder el punto 0.12345678 de la recta con el punto (0.1357, 0.2468) del plano, etc.
Interesante, Jorge. ¿Y eso se podrá hacer con todos los números?
Interesante.
sen(2*x) = 0 tendría tambien como soluciones a los múltiplos impares de pi/2, ¿no? ( Por el desarrollo del ángulo doble).
Si que es posible la biyección de la recta al plano, aunque la que yo tengo delante es indirecta y enrevesada ( Hortalá, et als. "Matemática discreta y lógica matemática", Ed. Complutense , pag 140).
Se basa en la igualdad entre los cardinales de R, P(N) y el conjunto de las funciones características de N. A partir de ahí "pega" las representaciones de dos elementos de R, vistas como sucesiones de ceros y unos ( No en binario), por lo que el resultado es la representación de otro elemento de R, viendo que es biyectiva. Creo entender que así establece la biyectividad del (Cjto. de Func características)² con dicho conjunto, con lo que indirectamente se establece una biyección entre R y RxR ( Siempre que sea posible expresar una biyección de R a P(N), y de ahí al cj. de las func. características.....
Saludos.
En el libro de la serie Schaum, "Teoría de conjuntos y temas afines", dan una demostración de |[0,1]x[0,1]| = |[0,1]|, pero resulta ser sólo inyectiva, y nuevamente demuestran la igualdad de forma indirecta.
¿Y la curva de Peano, eso que llena todo el plano?, No estoy seguro, pero creo haber leido en algún sitio ( Tal vez en un libro de fractales), alguna fórmula que de forma explicita pudiera establecer dicha biyección.
Saludos.
Vuelvo sobre mi anterior comentario. Cuando dices:
"Las dos del sen(x) tendrían las mismas soluciones, ¿no?",
entiendo que sí por "las mismas", te refieres a soluciones con idéntico valor numérico, la respuesta es no. Pero si te refieres a que tengan "la misma cantidad de soluciones", es evidentemente correcto ( Es el cardinal de N, ¿no? ).
Es una curiosa ambigüedad del lenguaje....
Me ha gustado el comentario de Acido. Creo que, si lo que medimos es la cantidad de soluciones, para un conjunto infinito no sólo sería correcto el que exista ó no una biyección de forma explícita, bastaría con cualquier prueba indirecta de igualdad de cardinales ( teoremas de Schoeder Bernstein, etc...).
Me resulta sin embargo llamativa, la percepción que comenta Acido de los 2 grados de libertad en la segunda ecuación que planteas, y que sólo veamos un grado de libertad en la primera.
Saludos.
Gracias por tanta y tan buena aportación, Juanjo.
Creo que las claves están en tu último comentario. Sí que me refería a la "misma cantidad de soluciones", porque sí parece intuitivo que si hay dos grados de libertad el número de soluciones sea mayor.
Aunque por otro lado, parece que ahora nos encontramos con que el problema se reduce a si podemos establecer una biyección entre un conjunto de una dimensión y su equivalente en dos, ¿no?. Me he perdido un poco con la demostración que comentas del libro de Hortalá. Me estoy oxidando con tanto dar Secundaria, ;)
Pero, bueno, voy a seguir investigando...
No, si oxidados estamos más de uno. Es una demostración cortita, pero enrevesada. Y no por difícil, si no por el hecho de que esperamos una biyección que "se vea", y sin embargo es muy indirecta: R tiene el mismo cardinal que Partes de N, y este a su vez el mismo que el conjunto de las aplicaciones de N en {0,1}. Es entre este conjunto y su propio producto cartesiano de él con él mismo, entre los que se establece una biyección, que, según el libro sería una sucesión de ceros y unos. En el libro está hecho incluso con más generalidad, para un conjunto A cualquiera, aunque como corolario deduce que R², R³, y en general Rn son del mismo cardinal.
En ese libro se dan bastantes biyecciones directas. Yo manejé durante mis estudios (Ing. Informática) un libro en inglés de Sahni " Concepts in discrete mathematics", y recuerdo algún comentario en clase, sobre la necesidad para informática de aprender a establecer biyecciones para cardinales lo más explicitas posible.
De todas formas sigo pensando que bastaría una demostración de igualdad de cardinales, sea ó no por biyección.
Respecto al planteamiento de si existen dos ecuaciones con soluciones distintas y que una tenga más que la otra, aunque ambas sean infinitas, bastaría con comparar ecuaciones que sólo tengan infinitas soluciones en N ( o cualquiera de los conjuntos de idéntico cardinal) , con ecuaciones que tengan infinitas soluciones en R ( o cualquiera de los conjuntos con idéntico cardinal que R). Pero claro esto nos llevaría a estar indirectamente especificando el tipo de soluciones....
Más interesante todavia: ¿Existe algúna ecuación, en la que dependiendo de un parámetro, para algunos valores de dicho parámetro la solución caiga en N unicamente, y para otros lo haga en R?
Saludos.
Gracias por las aclaraciones, Juanjo. Pensaré lo de la ecuación que dices...
Quizás un poco tarde, pero una sola solución más:
X>k contra X>=k
Estupendo, Senseless
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