domingo, 13 de abril de 2008

Dos problemas "diferentes"

Nos pasan (gracias, Antonio) estos dos interesantes problemas numéricos.

Problema 1: llamamos números casi-cuadrados a aquellos a los que le falta una unidad para ser cuadrados, como el 15, el 80 o el 120. ¿Puede existir algún número de este tipo que sea el doble de otro también casi-cuadrado?

Problema 2: Si tomas un número formado por n veces la cifra 9, la suma de las cifras de su cuadrado es exactamente el resultado de multiplicar 9 por n. ¿Por qué?

Ambos problemas se parecen precisamente en que hay una notable diferencia, si bien es una diferencia diferente .

10 comentarios:

qfwfq78 dijo...

El primero que encontre es 1680, cuasi-cuadrado de 41, que es a su vez el doble de 840, cuasi-cuadrado de 29.

Fodor Lobson dijo...

el 48 es casi 7 al cuadrado, y el 24 es casi cinco al cuadrado, pero lo he hecho empíricamente y no matemáticamente.

Juan Luis dijo...

Sí, en el problema 1 son esas dos las soluciones que conocíamos, pero ¿se pueden generar de alguna forma? ¿Y habrá más?

Acido dijo...

Problema 1:
(n^2-1)*2=m^2-1
2*n^2-1=m^2

ej: 2*5^2-1=7^2

De la expresión: 2*n^2-1=m^2
Se deduce:

Ambos números deben ser impares y su cociente debe ser aproximadamente raiz de dos (ligeramente inferior a raiz de 2)

ej: 7/5=1.4 menor que 1.4142...
41/29=1.41379...

para el 7... 7*sqr(2)=9.899... probaríamos el 9 pero NO, ya que 9/7 es menor que 1.4 y debería ser más cercano sqr(2)

Así podemos seguir probando con el resto de impares: 9 tampoco, 11 tampoco...


Problema 2:
Se trata de 10^n-1
Al cuadrado: (10^2n-2*10^n+1)
lo cual explica cómo son esos cuadrados: son (n-1) nueves, seguidos de 1 ocho, (n-1) ceros y un uno. La suma de cifras es la misma.

Juan Luis dijo...

Gran trabajo, Ácido (como siempre). Coincidimos en el desarrollo del segundo problema.

En el primero, me ha gustado mucho la forma de analizar la relación entre los dos números (esa casi raíz de dos de los casi cuadrados) aunque nosotros lo habíamos planteado más descomponiéndo los cuadrados menos 1 en suma por diferencia...

goyo lekuona dijo...

Bueno, veamos como resulevo el primer problema, de una forma "diferente" ya que tratamos de diferencias ;-)

SI tenemos que uno de los cuasi cuadrados puede ser X^2-1 tiene que ser el doble de otro cuasi cuadrado 2*( Y^2 -1) De manera que gracias a las hojas de calculo preparo en una columna los posibles valores para X y en otra saco que Y puede ser igual a la mitad de la raiz de X^2 -2 Y voy calculando todas las filas. Luego los valores enteros de la segunda columna son soluciones posibles. COmo es muy largo consultar los miles de filas calculada, creo una nueva columna para destacar las soluciones, y a base del filtro encuentro rapidamente las soluciones, que serian las siguientes
48 y 24; 1.680 y 840;
57.120 y 28.120; 1.940.448 y 970.224 como esto se hace largo doy el primer cuasi entero de las siguientes soluciones 65.918.160 ; 2.239.277.040 y el mayor que he encontrado...
76.069.501.248 que es igual a 275.807^2 -1 y es el doble de 38.034.750.624 nuemro cuasi cuadrado pues es igual a
195.025^2 -1

Ostras menudo rollo que me ha quedado

NaCl U2 Yo!
P.S. Saludos a Antonio ;-)

Juan Luis dijo...

Muchas gracias (de ambos), Goyo, dudábamos de cuántos valores podría llegar a haber... ¡Viva la hoja de cálculo!

Anónimo dijo...

Se trata de los llamados números de Pell ( http://en.wikipedia.org/wiki/Pell_number ), que se define como:
P_0 = 0
P_1 = 1
P_n = 2*P_(n-1) + P_(n-2)
Así, la sucesión empieza así: {0, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, 2378...}, y por supuesto se tiene que la fracción (P_n+P_(n-1))/P_n tiende a raíz de 2. La sucesión de estas fracciones es {1/1, 3/2, 7/5, 17/12, 41/29...}. Si tomamos sólo las fracciones p/q con p y q ambos impares (excepto 1/1, claro) se tiene lo que buscamos, que p^2-1 es el doble de q^2-1.
Así que con el afán de superar a Goyo diré una dupla más grande: (1607521 al cuadrado menos 1) es el doble de (1136689 al cuadrado menos 1).

Eso sí, antes de encontrar los números de Pell (que no los conocía) hice cuentas en la hoja de papel con el fin de ver si podía descubrir alguna fórmula general... y sí, la encontré, pero es recursiva. Empecé con a=1, calculé b=a+(a²-1)^0,5 y c=b+(b²+1)^0,5 y para cada iteración di a a el valor que me acababa de salir para c. Probé que todos los números que me iban saliendo eran enteros, y que los números buscados son c y c+b para cada iteración. Me salieron los números 1, 2, 5, 12, 29, 70... y fue eso lo que busqué en la enciclopedia de sucesiones.

Juan Luis dijo...

Gran estudio, me encanta ver que hay viejas cuestiones que siguen vivas, ;)

Anónimo dijo...

Soy el de ayer. Propongo una generalización del primer problema. Para cada n natural, ¿puede existir algún número casi-cuadrado que sea el n veces otro también casi-cuadrado? (Ya está visto para n=2, y para n=1 es trivial.)