lunes, 5 de mayo de 2008

Cuadrado nono

Primer problema del año II (gracias de nuevo por las felicitaciones):

Hemos cogido los números del 1 al 9 y los hemos distribuido en un cuadrado de tres por tres de forma aleatoria

2 4 3
1 6 8
5 9 7


Sumamos los seis números de tres cifras que se forman por filas y por columnas:

243 + 168 + 597 + 215 + 469 + 387 = 2079.

El resultado es múltiplo de 9.

¿Será siempre el resultado múltiplo de 9 ordenemos como ordenemos las 9 cifras en el cuadrado?

(Nos lo pasó Antonio)

3 comentarios:

goyo lekuona dijo...

Bueno, veamos como solucionarlo
Suponemos el cuadrado
A B C
D E F
G H I
Al trabajar las operaciones como se indica quedaria de solución 200A + 110(B+D) + 101(C+G) + 20E + 11(F+H) + 2I

Si tenemos en cuenta que los valores utilizados son el 9 y cuatro pares que sumados entre ellos dan 9. Los resultados se pueden escribir como x(A) + y(9-A) siendo x e y coeficientes de los anteriores(200,110,101,20,11,2) al desarrollarlo nos queda Ax + 9y -Ay que viene a ser 9y - A(y-x)y como las diferencias entre los coeficinete siempre son multiplos de 9, el resultado siempre será multiplo de 9

No se si se entiende algo :-( EN una hoja de claculo se ve mas clarito ;-) je je je

NaCl U2 Yo!

Rodrigo dijo...

No sólo eso.

1. El resultado de sumar "en diagonal", también lo sería (267+319+548). Por supuesto puede elegirse la diagonal de derecha a izquierda o al revés, de arriba a abajo o al revés,...

2. Además, podríamos intercambiar cualquier dígito dentro de cualquiera de estos sumandos. Por ejemplo, sustituir 319 por 193 o 913 o ...

3. En realidad no es necesario tomar números de 3 cifras. Por ejemplo, podemos utilizar números de 4 cifras, o incluso combinar números de 2,3,4,... cifras. La única condición es que todos los dígitos se utilicen el mismo número de veces.

Tan sólo hay que "pensar" en potencias de 9.

4. Si existiera un dígito para nuestro número diez (por ejemplo @), y el número de veces que se utiliza cada dígito fuera par, la suma sería siempre potencias de @.

5. Si además existiese otro dígito para nestro número once (por ejemplo &), no es necesaria la condición de paridad anterior, para que la suma sea una potencia de &.

Saludos.

Juan Luis dijo...

Nosotros lo habíamos abordado descomponiendo el 10 en 9+1 y el 100 en 99+1, junto con el hecho de que la suma de las 9 cifras es 45 (multiplo de 9)