martes, 3 de junio de 2008

Probabilidad caprichosa


En su obra "Vitaminas matemáticas", Claudi Alsina realiza las siguientes afirmaciones:

"Tire cuatro monedas al azar, [...]. Si no hace trampas y, en lugar de "tirar", apunta, la probabilidad de que las cuatro monedas le queden formando los vértices de un cuadrado es... cero.

Si tira dos palillos al azar, la probabilidad de que le queden en direcciones paralelas o perpendiculares también es nula"
.

Imagino que se refiere a que son nulas porque expresan la probabilidad de un valor concreto en una distribución continua, pero me parece muy poco intuitivo, ya que uno tiene la impresión de que de que esos resultados deben tener algo de probabilidad, máxime cuando pueden formarse infinitos cuadrados diferentes o las rectas paralelas pueden tener infinitas inclinaciones.

¿Qué pensáis?

21 comentarios:

Pérez dijo...

Bueno, más grave es el siguiente problema, supongamos que tenemos una bara de 1 metro y la dividimos en 2 partes (lógicamente en un mundo en el que podamos dividir una bara y al sumar después sus dos partes el resultado sea 1 exacto). El punto de corte lo seleccionamos aleatoriamente, claro. ¿Cuál es la probabilidad de que hayamos partido por un número racional? Dicho de otro modo, que la medida de cualquiera de los trozos pueda representarse como a*x/b, siendo x la medida de la bara original, y a y b enteros... Pues la probabilidad es 0.

Supongo que el concepto de "conjuntos de medida 0" ya habrá salido alguna vez en este blog ¿no?

Rodrigo dijo...

Si no nos restringimos al cuadrado, ocurren sucesos quizás mas asombrosos.

Tiremos al azar las cuatro monedas y examinemos su posición. Como ya se ha apuntado, caigan como caigan, la probabilidad de que lo hagan en esa posición es cero.

Y sin embargo ha ocurrido. Con lo cual, asistimos a un hecho maravilloso. Mucho más que si nos tocara la primitiva (lo que es infinitas veces mas probable).

Y no sólo eso, sino que puedo predecir que este hecho maravilloso ocurrirá cada vez que vuelva a tirar las monedas.

Con lo cual, tenemos la certeza absoluta (probabilidad 1) de que ocurrirá un suceso imposible (probabilidad 0).

Me voy corriendo a echar la primitiva.

Juan Luis dijo...

Muy buenos comentarios, que nos aportan aun más "perplejidad probaliística".

Lo de los conjuntos de medida cero creo recordar que no ha salido tal cuál, aunque sí otros "temas límite" parecidos.

Y es magnífica esa "certeza de que ocurra lo imposible".

el güilo dijo...

Ciertamente, siempre existe una probabilidad y ésta puede ser expresada numéricamente, toda vez que se trata de eventos al azar. Hay una nula posiblidad de que la cruza entre un perro y gato genere algún animal, pero eso no es asunto del azar sino de la genética.

Swi dijo...

¿Son los infinitos magnificables?
No me refiero a que si entre sus cualidades se pueda decir de ellos que son magníficos, que sí lo son; sino que si se pueden comparar como que pueda haber un infinito más infinito que otro, el infinito número de cuadrados es más pequeño que el infinito número de cuadriláteros, ya que el cuadrado es una extraña y maravillosa excepcionalidad en los cuadriláteros.

Dado un perímetro fijo, sólo se puede hacer un cuadrado, pero infinitos cuadriláteros.

pérez dijo...

Bueno... pues me animo ;) Los conjuntos de medida 0 se estudian en Teoría de la Medida, uno de los casos más duros es el de los racionales en los reales, que aun siendo un subconjunto "denso", su medida es 0. Denso quiere decir que dados dos números a, b reales, siempre hay un racional entre medias. Están por todas partes pero... ¡no miden nada!

@swi, además de ser magníficos, que lo son, sí, son magnificables, creo recordar que fue Kurt Gödel el que estudió estas cosas. Siguiendo con el ejemplo de antes, los reales son "más" que los racionales. Una forma de saber cuándo un infinito es mayor que otro es intentar establecer una relación biyectiva entre los dos conjuntos. Los casos clásicos de comparación son:

- ¿Hay más números enteros que pares? (Dicho de otro modo, ¿el grado de infinitud del conjunto de números enteros es mayor que el del conjunto de números pares?)

- ¿Y entre los enteros y los racionales?

- ¿Y entre los racionales y los reales?

Por último, creo que todo esto de los conjuntos de medida 0, en el mundo real, se lo carga algo llamado constante de Plank. De hecho creo que gracias a esta constante, la probabilidad de que las monedas caigan en un cuadrado perfecto no es exactamente 0. ¿Alguien puede aportar algo de luz en este sentido?

Juan Luis dijo...

Sí que conocía todo lo que mencionas al principio, pero me ha interesado lo de la constante de Plank. A ver si alguien, efectivamente, nos lo puede explicar.

XTReX dijo...

Efectivamente, es cero.

Pero voy más lejos: aunque nos dejaran colocar esas cuatro monedas, esos dos palillos, o cortar a la mitad la vara que decía pérez, la probabilidad de hacerlo correctamente seguiría siendo cero.

Aunque utilizásemos microscopios electrónicos para buscar su punto exacto, sería cero.

Qué cosas...

juanjo dijo...

Lo de la constante de Planck y la probabilidad, no sé si será algo que recuerdo vagamente haber leido hace unos años( No creo acordarme ni cuando, ni donde, ¿ Revista Investigación y Ciencia, tal vez?). Supongamos un suceso aparentemente imposible, por ejemplo que todas las partículas que forman un vaso vibrasen al mismo tiempo en la misma dirección y hiciesen volcar dicho vaso. En la explicación que leí, usaban mecánica cuántica para demostrar que esto, que a priori le otorgariamos probabilidad nula, había sido sin embargo calculado y aunque daba una probabilidad cuya primera cifra decimal significativa venía precedida de muchos, muchísimos ceros, no era exactamente igual a cero. No sé si se usaba ó no la cte. de Planck.

Saludos
( Si hay algún físico cuántico en la sala, es su turno)

Juan Luis dijo...

Gracias, Juanjo, a ver si alguien nos da más información y, si no, trataremos de investigarlo...

juanjo dijo...

Y por cierto, en lo de conjuntos de medida nula, es asequible la paradoja de Banach-Tarski,( Lo de partir una esfera y que salgan dos esferas idénticas a la original, siempre que una de las "partes" de dicha partición sea cjto. de medida nula, algo no realizable en la práctica) tal y cómo se puede ver en el artículo de Carlos Ivorra:
http://www.uv.es/ivorra/Libros/Banach_Tarski.pdf


Saludos.

Stoneman dijo...

No es que domine mucho el tema, pero la diferencia entre la descripción matemática de la realidad y la cuántica, creo, es que mientras la matemática considera que entre dos puntos cualesquiera existen infinitos puntos, la cuantica establece un modelo cuantificado: dado un punto no podemos elegir otro a una distancia tan pequeña como queramos sino que existe una distancia mínima de medida, la longitud de Planck (en realidad hay varias constantes de Planck según la aplicación).
O sea, que mientras en un modelo matemático cualquier superficie tiene un número infinito de puntos, por pequeña que sea, en un modelo cuántico cualquier superficie tiene un número finito de puntos, por grande que sea. Es lo que hace que el problema de las monedas tenga una solución diferente de cero, que el universo de probabilidades no es infinito.

No sé si admites enlaces en los comentarios, pero para ver más sobre las constantes de Planck:

http://es.wikipedia.org/wiki/Longitud_de_Planck

Juan Luis dijo...

Gracias, Stoneman, desde luego tu explicación es mucho más clarificadora que el propio artículo de la Wikipedia.

Reconozco que es un tema que desconozco casi completamente y me está interesando mucho, ciertamente.

pérez dijo...

Gracias stoneman, por la explicación, yo había oído tiros pero no tenía muy clara la dirección... Siguiendo con esto, a mi cuando me lo contaron me pareció un tanto aterrador. Esto, aparte de cargarse el contínuo, me dice que ¡vivo en un grid! Vamos, que la diferencia entre un servidor y el protagonista de Manic Miner es mucho menor de lo que yo imaginaba!! Escalofríos me dan sólo de pensarlo...

erre dijo...

Un apunte que creo que es importante. Un suceso con probabilidad cero NO ES UN SUCESO IMPOSIBLE.

Probabilidad de un suceso: (suceso que buscamos)/(sucesos posibles). Si los sucesos posibles son infinitos, la probabilidad del suceso es cero, lo que no significa que sea imposible que suceda, NI MUCHO MENOS!!!!!

teillu dijo...

Es posible poner cuatro monedas sobre los cuatro vérticas de un cuadrado: no hay ningún impedimento físico, los vértices no rehúyen las monedas, es matemáticamente posible. De ahí que considere falso que la probabilidad de que ello suceda sea cero.

Supongamos los palillos como dos vectores en el espacio. Sustituyamos pues los palillos por dos vectores generados aleatoriamente por una computadora contínuamente. Bien, de ser la probabilidad de que el ángulo entre los vectores sea de 90 o de 0 nula, la computadora JAMÁS generaría dos vectores perpendiculares o paralelos lo que, en un tiempo infinito, también se me antoja falso. De ser así, tan imposible sería conseguir exactamente un ángulo de 0º, de 90º o de 3,1415237...º: sería así imposible que los palillos formaran ninguno de los ángulos considerados (ergo... ¿no caerían, quedarían suspendidos de por vida...? :P)

Axolotl dijo...

De todas formas la realidad fisica y la matematica son diferentes. En la realidad fisica no existen los circulos ni los cuadrados. Se utilizan como aproximaciones a la realidad, pero dando por sentado que son abstracciones.

n0rdik0 dijo...

@ telliu: tal como dices la computadora jamas generará dos vectores paralelos ni perpendiculares. Miralo de esta forma, no es mu estricta pero me parece bastante "intuitiva":
Dado que (matematicamente) hay infinitos angulos entre 0 y 90, el angulo que genere la computadora debe tener infinitos decimales para ser "exacto". Suponiendo que en tiempo infinito no sea imposible generar el numero, la posibilidad de que el dicho numero (angulo) sea 0 es la posibilidad de que la parte entera sea 0 (1/90) y la posibilidad de que cada uno de los decimales sea 0 (1/10). Por tanto (1/90) multiplicado por (1/10) elevado a infinito. El resultado de la operacion, la probabilidad de que la computadora haya generado dos vectores paralelos *de forma aleatoria* es cero. Es lo maravilloso de las matematicas :D

Scila dijo...

El problema es que se le está exgiendo una precisión matemática a una realidad física. Según eso sería imposible trazar realmente un cuadrado de ninguna forma.
¿Qué punto consideramos el centro de cada moneda para trazar el cuadrado? Si ni siquiera serán circulos perfectos ni iguales. No tiene nada que ver con el azar, es un problema de precisión.
Respecto a la constante de Planck, efectivamente, la precisión acaba donde empieza la mecanica cuantica, no es que la realidad no sea un todo continuo, es que no cabe expresarla así, sino más bien como un conjunto de posibilidades de que una particula esté en una determinada posición en un momento determinado, más en:
http://es.wikipedia.org/wiki/Principio_de_incertidumbre

http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_Schr%C3%B6dinger
De todas formas, para este caso, mucho antes de entrar en este limite dado por la constante de Planck nos encontraríamos otros límites, como la vibración de los átomos y moléculas, tendríamos un cuadrado cuyos vertices vibrarían y no necesariamente en el mismo sentido y frecuencia.

(=Charito=) dijo...

Hola a todos...
Recomiendo este post para el tema de los infinitos. Es por lo menos curioso. Un infinito mas grande que otro, no se a vosotros pero a mi no me entra en la cabeza. Hablando de todo un poco ¿cuánta información nos entra en la cabeza? Infinita también?

http://www.genciencia.com/categoria/quiz-genciencia

Logaitz dijo...

Me animo... el hecho de que una opción tenga probabilidad 0 no significa que no pueda ocurrir, sino que es tan altamente improbable el obtener ese resultado frente a los infinitos resultados posibles que se considera nula. ¿Y que pasa si tiro los palillos y justo forman un ángulo de 90º? ¿Van a desaparecer los palillos o el universo? No creo, pero rizando el rizo podriamos decir que nada me garantiza que el ángulo formado por las direcciones sobre las que se encuentran los palillos es de 90º ya que al trabajar con espacios muestrales infinitos, debemos exigir precisión infinita, lo cual es imposible. Por tanto, si obtuviesemos ese resultado en realidad tendriamos un ángulo contenido en el conjunto de valores (90º - a, 90º + a), siendo a el error de medida cometido, ya que es imposible determinarlo exactamente, y ese conjunto de valores si tendra una probabilidad que no será nula, aunque se aproximara a 0 conforme "a" se aproxime a 0. No se si ha quedado un poco claro :S