lunes, 7 de julio de 2008

El cuadrado mágico de Dudeney

Este es un cuadrado mágico ya que todas las sumas en horizontal, vertical o diagonal suman lo mismo, 72.

Se trata de, reorganizando las cifras si se quiere pero sin quitar ni añadir ninguna, conseguir en este caso que los productos en horizontal, vertical o diagonal, tengan todos el mismo resultado.

(Tomado y ligeramente adpatado del extraordinario libro "536 Puzzles & Curious Problems" de Henry Ernest Dudeney, con prólogo de Martin Gardner y que ha entrado de forma estelar en nuestra biblioteca).

12 comentarios:

GiovAnni dijo...

Si damos vuelta el cuadrado obtenemos 3 configuraciones distintas

23 22 27
28 24 20
21 26 25

------------

---21 28 23
c)-26 24 22
---25 20 27

------------

25 26 21
20 24 28
27 22 23

------------


O pasando un numero de una punta a otra las configuraciones son 2 mas:

21 26 25
28 24 20
23 22 27

------------

27 22 23
20 24 28
25 26 21

------------

Tamien desde estos puntos podemos empezar a dar vuelta el cuadrado (es mas estos dos cuadrados magicos anteriores son los mismos solo que dados vuelta sin embargo nos quedan dos configuraciones mas que son):

---23 28 21
a)-22 24 26
---27 20 25

-----------

---25 20 27
b)-26 24 22
---21 28 23

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Si analizan estos dos ultimos cuadrados los obtendriamos si tomando el cuadrado inicial pasaramos la fila de arriba para abajo y la de abajo para arriba (que es el caso del cuadrado a)) o si pasaramos la columna de la derecha a la izquierda y visceversa (es el caso del cuadrado b)) y tal vez se pregunten que pasa si pasaramos la fila de abajo hacia arriba y visceversa y a ese cuadrado pasaramos la columna de la derecha a la columna de la izquierda y visceversa ¿ obtendriamos un nuevo cuadrado? no porque ese cuadrado ya lo obtuvimos (es el caso del cuadrado c))

Saludos a todos

Muy buena la pagina

Juan Luis dijo...

Muy buen estudio, Giovanni, desde luego, aunque queda pendiente conseguir el cuadrado con los productos constantes, como pedía Dudeney

GiovAnni dijo...

uhy perdon :) eso me pasa por leer a las apuradas bueno entonces podria ser asi???:

3/6---2---2^2/2^2

2----1^5--(7^0)/2

2/2--4/8--2


Espero que se entienda que es lo que va en cada cuadrado
Saludos

Juan Luis dijo...

Brillante, Giovanni, la de Dudeney es más ingeniosa (¿o quizá sería mejor decir tramposa?), pero la tuya tiene realmente mérito ya que todos los productos dan 1. Gran trabajo

Lilia Morales y Mori dijo...

Sin mover de posición ninguno de los números del cuadrado mágico de Dudeney multipliqué independientemente cada uno de ellos por una pequeña fracción:
(0.1011)

El producto del resultado de estos números en fila, columna y diagonal es igual a 14. Supongo que la misma fracción con más decimales reflejará la igualdad numérica en las filas, columnas y diagonales muy aproximada a 14

Un saludo

Juan Luis dijo...

Bueno, sale aproximadamente 14, ¿no?, no exacto. Pero, ¿cómo obtuviste el número?

Lilia Morales y Mori dijo...

Estimado Juan Luis, lo primero que se me ocurrió es hacer un programita en Excel para encontrar todos los productos de tres grupos de estos números que se pueden dar entre ellos. Yo esperaba encontrar cuatro grupos que tuvieran un número en común de los nueve y que el producto de todos ellos fuera el mismo, esto con la finalidad de acomodar este número al centro del cuadrado para que diera el producto igual en vertical, horizontal y las dos diagonales. Pero esto no se dio. De las 84 combinaciones de los productos de tres números no es posible bajo ningún arreglo en el cuadrado llegar al planteamiento del problema, así que era necesario encontrar un artificio que permitiera llegar a la igualdad en el producto de los números por fila, columna y diagonal. De tal modo era obligado pensar en el artificio, observé que los productos tal cual del arreglo del cuadrado de Dudeney, el que arroja un número menor es el de 20*24*28 = 13440, y el mayor es de 23*24*25 = 13800, de tal modo trataría de encontrar el artificio que me llevara a equilibrar la diferencia entre estos números. Se me ocurrió que ese número debería ser una fracción, de tal modo tenía que convertir los números del cuadrado en números fraccionarios. Así que primero los multipliqué por 0.5
Este proceso lo realicé en un pequeño programita que también hice en Excel, los resultados fueron muy desiguales y rebasaban el 13800, de tal modo inmediatamente lo multipliqué por 0.4, los resultados mejoraron un poco sin ser satisfactorios, hasta que lo multipliqué por 0.1 me di cuenta de que ya estaba cerca. La ventaja del programa en Excel es que me permitió hacer pruebas de forma casi inmediata con varias fracciones hasta que encontré el número 0.1011 Por supuesto, esta fracción no es más que una aproximación que nos puede llevar casi al 14, pero yo no tengo los elementos ni los conocimientos necesarios para llegar a la fracción exacta que establezca la solución que plantea el problema. Incluso he llegado a pensar que fracciones muy pequeñas pueden llevar la igualdad casi a cero. En fin le dejo este problema a los expertos.

Un saludo

Juan Luis dijo...

Gracias por explicar tu (interesante) estrategia, la de Dudeney es "de otro estilo"

Rodrigo dijo...

En una de las diagonales: 0,(8-5-3), (7-6-1),
El resto de casillas se rellena a discreción con las cifras que faltan por colocar.
Al haber un 0 en cada dirección, el producto siempre es 0.

Juan Luis dijo...

Una solución rotunda, Rodrigo, que entiendo que sería correcta. La de Dudeney es menos "destructiva" y los cambios que precisa mínimos.

Rodrigo dijo...

De acuerdo, seamos tramposos, pero sin ser destructivos.

En cada casilla, sustituimos 2x por 2^x.

Juan Luis dijo...

¡Bravo, Rodrigo, clap, clap, clap! Por fin llegó la solución...