domingo, 21 de septiembre de 2008

Allí donde llega el siete

El otro día, en clase, abordábamos el ejercicio de buscar "el menor y el mayor múltiplo de siete con seis cifras".

Para ello dividimos 100.000 y 999.999 entre siete para comprobar los restos y deslizarnos a los múltiplos pedidos. Al dividir 100.000 obtuvimos resto cinco, con lo que 99.995 era múltiplo de 7 y, por tanto, el primero de seis cifras era 100.002.

Pero al dividir 999.999 entre siete, ¡salió resto cero!, lo que nos llamó la atención dada la dificultad para localizar múltiplos de 7.

Al rato, reparé en que era un resultado esperable para un aficionado a las propiedades numéricas. ¿Por qué? ¿Qué otros números similares son múltiplos de 7?

Actualización 22 de septiembre: Al repetir el ejercicio en otra clase, comprobamos otro hecho curioso:

999 999 / 7 =142 857
100 000 / 7 = 14 285,7...

A mí me ha sorprendido aunque a lo mejor no me doy cuenta de alguna cuestión trivial.

9 comentarios:

Markelo dijo...

No se si es trivial, pero tiene que ver con el "famoso" periodo de 1/7

0,142857...

que se repite ciclicamente según hagamos 1/7, 2/7, 3/7 etc.

Además: (o lo mismo)

142857 x 2 = 285714
142857 x 3 = 428571
142857 x 4 = 571428
etc, etc.

Dentro de las "curiosidades numéricas" esta es una de las que más me gustan (y seguro que a tus alumnos también)

Juan Luis dijo...

Gracias por la aclaración, Markelo

Stoneman dijo...

Respecto a la actualización, no sé, pero me parece que lo que pasa es que 999999/100000 es casi, casi, 10.

Stoneman dijo...

Perdona, se me había ido el principio del comentario.
Creo que los números similares a los que te refieres son todos los formados por seis cifras iguales (333333, 666666...). Suena extraño hasta que te das cuenta de que una vez que 111111 es múltiplo de 7 los demás tienen que serlo.

Mondoke! dijo...

Sumo a lo aclarado por Markelo que el 142.857 sale del no se qué del círculo, y que lo de multiplicar para obtener el mismo número con las cifras cambiadas de lugar sirve hasta el 6. 142857*7=999999, como se decía en el post.
Lo curioso es que desde acá comienza otra cosa "rara":
142857*8=1142856.
Están los dígitos, salvo el 7. Pero si miramos con atención, el 7 está como la suma del primer y el último dígito. 6+1=7. Como si fuera poco, este fenómeno se generaliza para los otros múltiplos:
142857*9=1285713 (3+1=4)
142857*10=1428570 (0+1=1)
...
142857*14=1999998 (8+1=9) relacionado con 142857*7=999999.
Creo que si no fuera por el 2, el 4, el 9, pi, i y e, este sería mi número favorito.

Juan Luis dijo...

Muy interesante, reconozco que es un tema este el del periodo del 7 que desconocía o no recordaba (y más con lo que añade Mondoke!)

Sí, Stoneman, pero ¿por qué el 111111 lo es de 7? También lo es el 345345 o el 902902...

Markelo dijo...

¿por qué el 111111 lo es de 7?

Supongo que te referirás al conocido truco de adivinación:

Dado un número de tres cifras "abc" (con a, b y c no necesariamente distintos) si lo escribimos como "abcabc", este número resulta divisible por 7, por 11 y por 13.

Y el resultado de realizar esas divisiones es ¡abc!

Y esto es así porque... bueno, queda para tus alumnos.

Stoneman dijo...

Pues, aparte de hacerle la prueba del siete (que ya contaste por aquí) no se me ocurre.
Pero es curioso que su descomposición en primos sea 3x7x11x13x37 (primos duros) y que curiosamente 3x37=111, es decir, 111111=111x1001.
Sí, quizás no sirva de nada, pero es bonito.

Juan Luis dijo...

Es eso, Stoneman, que 1001 es 7x11x13 (por cierto me encantó lo de "primos duros"), por lo que, como dice Markelo, abcabc es divisible entre ellos y en nuestro caso 999999 (1001x999) tiene que serlo entre 7.