miércoles, 29 de octubre de 2008

Maximizando cien

¿Cómo podemos descomponer 100 en sumandos positivos y enteros de forma que su producto sea el mayor posible?

Una interesante cuestión que Ángela Dunn plantea en el libro "Desafíos matemáticos"

17 comentarios:

aprush dijo...

Descomponiendo 100 en 51 y 49 (51 x 49 = 2499). No sé si he entendido bien el enunciado, no sé si hay que descomponerlo en 2 números como máximo.

Juan Luis dijo...

No, Aprush, no hay que limitarse a dos (además, sería 50x50=2500, ¿no?), se puede descomponer en tantos como sea necesario (siendo positivos y enteros).

Rodrigo dijo...

La clave es el 3.
Bueno, el 2 también, pero menos.

Anónimo dijo...

¿Será 100 = 2*50? Así tenemos 50 veces 2

Y así tenemos que el producto es 2^50 (2 elevado a la 50) que aproximadamente sería del orden de 2^16 = 10000000000000000

No sé, no soy matemático, soy informático (que según los matemáticos somos poco menos que una bazofia) así que no tengo basamento para la prueba, más que el "instinto" de que la potenciación es la operación que hace "crecer" más rápido un número, y no veo otra partición en sumas que me de una potencia más grande.

De todas maneras mi solución como INFORMATICO, sería escribir un problema que haga un análisis exhaustivo de todos los casos (algo que llaman "algoritmos de backtracking") y con él, mi compu e n unos minutillos me daría la respuesta correcta.

Pero no sé, de verdad me causó mucha curiosidad el problema y me gustaría saber la respuesta correcta.

Juan Luis dijo...

Hombre, los matemáticos no tenemos esa idea de los informáticos. Espero que al revés tampoco, ;)

Tu solución se acerca a la óptima pero Rodrigo da una buena pista (aunque lo del diseñar un programa tampoco es mala alternativa, si bien esta vez quizá estés lo bastante cerca como para que lo necesites).

Anónimo dijo...

Perdón por lo de antes, lo dije medio en broma, pero seguiré pensando el problema. De todas maneras vi que hay una solución que un producto mayor (se me ocurrió y no sé si tiene que ver con la pista de Rodrigo).

100 = 99 + 1 = 33*3 + 1

Y el producto sería 3^33 que es mayor a 2^50.

Ahora mismo tengo que trabajar :( pero volveré a pensar el problema, antes de hacer el programa de computadora, porque claro, la idea es buscar un razonamiento matemático.

Saludos.

Juan Luis dijo...

Tranquilo, yo también lo decía con buen humor.

La solución combina las dos que has dicho. Ahora, ¿de qué forma?

aprush dijo...

Yo confieso que aún no he entendido el enunciado, no sé si me levanté tonto hoy, pero no entiendo lo que hay que buscar.

Juan Luis dijo...

Aprush, hay que descomponer 100 en suma de (muchos) sumandos de forma que el producto de esos sumandos sea el mayor posible.

aprush dijo...

Ahh, ya te entendí, esto de no ser matemático...jeje.

Pues no sé..."3 multiplicado 33 veces + 1", ¿o hay otra mejor?

Juan dijo...

Pues a mi me sale un 4 y treinta y dos veces 3 = 7,41208E+15

Juan Luis dijo...

Efectivamente, Juan, 32 treses y un cuatro (o dos doses, que da lo mismo).

La clave es que un 4 equivale a dos doses y cualquier otro número mayor tiene un producto mayor si lo descomponemos en 2 + algo.

Por ejemplo, 5=2+3 y 2x3=6 (más que 5)

El 3 es el único que no compensa si lo ponemos como 2+1.

Hay que poner muchos treses. Treinta y tres no, Aprush, porque para el último 4, conviene más 2+2 (con producto 4) que 3 +1 (con producto 3)

aprush dijo...

Es verdad. Completamente entendido y grandes explicaciones por parte de todos, fue muy curioso.

Acido dijo...

interesante...

Yo también empecé por lo intuitivo de potencias grandes... (2^50) que parecía mucho mayor que 50*50... Luego probé, por casualidad 3^33 y me sorprendió que fuese mayor.

Me preguntaba ¿cómo era posible que disminuyendo la potencia (de 50 a 33) aumentase el resultado final si con 50^2 el resultado es mucho menor y según se aumentaba la potencia parecía aumentar siempre el resultado.

La explicación, que dio Juan Luis es curiosa. El 4 resulta ser un punto límite (2+2=2*2).

Acido dijo...

Con la explicación de Juan Luis me quedaba claro que usar números mayores que 4 no compensa, no merece la pena y que usar el 4 era igual de rentable que usar el 2... Así que sólo quedan combinaciones de doses y treses...

Pero me quedaba la duda: ¿por qué es mejor usar muchos treses? La explicación es que con cada 6 unidades es mejor descomponerlas en 3+3 ya que 3*3=9 que descomponerlas en 2+2+2 ya que 2*2*2=8 Y, una vez agotadas las 32parejas de treses (suman 96), quedan 4 unidades, que se dejan como un 4 ó 2+2.

email_galicia dijo...

Como es habitual, leo los artículos un poco tarde, cuando ya están resueltos. Pero ya que estamos, aporto mi granito de arena: Si quitamos la restricción de números enteros conseguimos un resultado mejor descomponiendo el 100 en 33 valores de la forma 3,0303030303...

Acido dijo...

email_galicia,

Respecto a tu comentario anterior, también pensé en la posibilidad de productos de números reales que sumen 100 (quitar la restricción de enteros)... y encontré que se obtiene mejor resultado con 40 veces 2,5
2,5 elevado a 40
es mayor que 3,0303030303 ^33

Fue un hayazgo bastante casual... dije "voy a coger un punto entre 2 y 3 a ver qué pasa"... y cogí el punto medio y resultó ser 100/40 jajaja

Hice tanteo porque no se me ocurría otra forma de encontrar un par [x,n] de forma que x^n sea máximo y x*n = 100

Luego pensé: voy a ver si obtengo puntos máximos (relativos), a base de la igualar la derivada a cero...

El caso es que llegué a 37 veces 100/37 ... (100/37)^37