jueves, 6 de noviembre de 2008

Entretente con los primos

1. Busca tres números enteros en progresión aritmética cuyo producto sea un número primo.

2. ¿Cuántos de los números de esta secuencia infinita son primos?
9, 98, 987, 9876, 98765, ...., 987654321, 9876543219; 98765432198, ...

Los dos son "Desafíos Matemáticos" de Ángela Dunn

12 comentarios:

Antonio dijo...

Así, a bote pronto, sin estudiarlo mucho, se me ocurren dos pistas:

(1) Los números pueden ser negativos

(2) Quizás todos sean múltiplos de 2 o de 3.

Lo dejo ahí.

Lewi dijo...

1. O no lo he entendido bien o no tiene respuesta. 3 números multiplicados no pueden dar un número primo, ya que sería divisible por esos 3 números. Lo único que se me ocurre es la secuencia 0, 1, 2 que da 0, por si se puede considerar como primo.

2. Creo que ninguno de esa secuencia puede ser primo.

No hace falta que explique los que acaban en numero par y los que acaban en 5.

Quitando esos, de la primera secuencia nos quedan el 9, 987, 9876543 y 987654321. Según me enseñaron en el cole, si al sumar todas las cifras del número el resultado es divisible por 3, ese número era divisible por 3.

Esos 4 números son divisibles por 3, y por muchas veces que se añada la secuencia 987654321 (que tambien es divisible por 3) seguira siendo divisible por 3

PD: Acabo de caer en la solución del nº 1. Para no destriparlo todo yo, solo dire que el número primo que se busca es el 3.

Acido dijo...

jajaja

Angela es una bromista ¿no?

Acido dijo...

1. Vaya, encontré una solución:
-3, -1 y 1

Yo creo que no se puede dudar que son enteros (aunque no naturales). Y están en progresión aritmética. Y su producto es 3, que es primo.

mcm dijo...

2) Ninguno...

el numero de partida (9) no es primo, porque es divisible por tres

añadimos 8 -->
múltiplo de dos

añadimos 7 -->
(9)+8+7=múltiplo de tres

añadimos 6 -->
múltiplo de dos

añadimos 5 -->
múltiplo de cinco

añadimos 4 -->
múltiplo de dos

añadimos 3 -->
(9)+8+7+6+5+4+3=múltiplo de tres

añadimos 2 -->
múltiplo de dos

añadimos 1 -->
(9)+8+7+6+5+4+3+2+1=múltiplo de 3

añadimos 9 -->
(9)+8+7+6+5+4+3+2+1+9=múltiplo de 3

a partir de ahí, volvemos al principio de la lista, y como volvemos a partir de un múltiplo de 3... pues estamos en las mismas!

Gracias!

Ah! lo que me pregunto és porqué "nos saltamos" añadir el 0... no habría ninguna diferencia, no?

Acido dijo...

En el 2 si que estoy bastante seguro de que no hay ninguno.

* Los que acaban en 2, 4, 6 o bien 8 no pueden ser primos porque son pares (y ninguno es el 2).
* Los que acaban en 5 tampoco porque son divisibles por 5 ((y ninguno es el 2).

Nos podría quedar duda en 1, 3, 7 ó 9:
* Los que acaban en 1 están formados por un grupo de 987654321 que es divisible por 3 (la suma de cifras es 45, o múltiplo de 45 que es divisible por 9)
* Los que acaban en 9 es el 9 o un número acabado en 1 seguido de un 9... que será multiplo de 9.
* Los que acaban en 7 también son múltiplos de 3 (9+8+7 = 9+15)
* Los que acaban en 3 también son múltiplos de 3: 9+8+7+6+5+4+3 = 9+15+6+9+3

Guillermo dijo...

Me imagino que la respuesta a la primera pregunta son los números -3, -1 y 1...

Mari dijo...

En el primer acertijo yo diría que no hay solución posible, ya que cualquier número que haya sido producto de una multiplicación podrá dividirse entre los términos de la misma (o eso me parece, a lo mejor tiene truco la pregunta =S).
Para el segundo, no tengo ni idea!

ORCC dijo...

En la pregunta 1, es eso posible? Porque no lo veo.

Pongamos que tenemos 3 números en progresión aritmética, con razón R, entonces, si A es el primer número de dicha progresión, los otros dos son (A + R) y (A + 2R) así el producto de los tres números es

A(A + R)(A + 2R) (*)

Creo que (*) no es primo, pues en el caso de que A sea primo, ya A es un factor primo de (*). En caso de que A no sea primo, por el teorema fundamental de la aritmética A tendrá una descomposición en factores primos digamos que A1, A2, ... An, y así cualquiera de los Ai será divisor de (*)

Pero si estoy equivocado por favor dame otra pista, para ver cual sería la dirección en donde debo pensar.

ORCC dijo...

A ver qué tal con la pregunta 2, que tengo mi idea:

- Los números que terminan en 8, 6, 4, 2 son pares, por lo tanto son divisibles entre 2 y no son primos.

- Los números que terminan en 5 son divisibles entre 5 y ya no son primos.

- Respecto a los números que terminan en 3, veamos primero 9876543 aplicando un conocido criterio de divisibilidad entre 3
9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 = 42 el cual es múltiplo de 3, luego 9876543 es múltiplo de 3. Para ver si los demás números que terminan en 3 son múltiplos de 3 podría hacer la siguiente inducción: Los números que terminan en 3 son de la forma (987654321)n veces seguido de 9876543. Como 9 + 8 + 7 + 6 + 5 +4 + 3 + 2 + 1 = 45 siempre la sucesión de n veces 987654321 será multiplo de 3, y además 9876543 es multiplo de 3. Luego cualquier número que termine en 3 será divisible entre 3 y por lo tanto no es primo.

- A los números que terminan en 9 se les aplica un razonamiento semejante al anterior, y sigue que son divisibles entre 3, por lo tanto no son primos. (ver que 9 es múltiplo de 3 y 987654321 es múltiplo de 3)

- A los que terminan en 1 también se les aplica el razonamiento anterior (987654321 es múltiplo de 3)

- A los números que terminan en 7 igual se les aplica el razonamiento: 987654321 y 987 son múltiplos de 3.

Pero ME PARECE que ninguno de esos números es primo. Aunque no sé si mi razonamiento tendrá algún error por ahí. Pero la propiedad que veo aquí muy bonita es que la concatenación de enteros múltiplos de 3 siempre es un múltiplo de 3.

Juan Luis dijo...

Pues nada, creo que ya todos habéis visto la solución:

1)-3,-1 y 1

2)Ninguno

Acido dijo...

#1 qué bueno Antonio, el primero en contestar y muy acertado... salvo por los múltiplos de 5.

En el segundo, teniendo en cuenta que se trata de infinitos números obtenidos concatenando, podían ser múltiplos de 3 o de 11... a partir de las 18 cifras hay múltiplos de 11 (antes no: 9-8=1, 9+7-(8+6)=2, etc...)