martes, 4 de noviembre de 2008

Todo se arregla sumando

El otro día surgió en clase de primero de la ESO el hecho de por qué los cuadrados perfectos están cada vez más separados entre sí. Dejé el asunto abierto y un alumno trajo esta interesante idea.

Para pasar del cuadrado de un número al cuadrado del siguiente basta sumar el número anterior y el nuevo. Por ejemplo:

23^2+23+24=24^2

Ya que, como bien explicó el alumno:

23^2 + 23 ya suman 24 veces 23, 24 x 23

y 24 x 23 + 24 ya suman 24 veces 24, 24^2

Y, por supuesto, los números que sumamos son cada vez mayores y los cuadrados, por tanto, estarán cada vez más alejados.

Me gustó mucho esta forma de resolver algo relacionado con potencias mediante sumas.

¿Qué otras formas se os ocurre de demostrar el resultado de que los cuadrados están cada vez más alejados?

Actualización: incluimos aquí el dibujo y la explicación de Lewi en los comentarios.

Un numero al cuadrado X^2, para pasar a (X+1)^2, se le tiene que sumar 2X + 1. Es muy facil verlo graficamente:

X^2 es naranja, y para llegar a (x+1)^2 se le tiene que sumar 2X (azul) mas uno (verde).

De ahi, que cuanto mayor sea la X, mayor sera la distancia en los cuadrados.

3 comentarios:

Anónimo dijo...

Con un helicóptero pilotado por un profesional, una cámara manejada habilmente por un fotógrafo especializado en fotografía aérea y un pintor de brocha gorda.
El pintor irá dibujando cuadrados de 1m de lado, 2m, 3m,... mientras el fotógrafo toma las correspondientes instantáneas en vuelo geoestacionario. Entre foto y foto, para dar tiempo al pintor a hacer su trabajo, el piloto realizará unas acrobacias mientras el fotógrafo procura no vomitar. Esto no sirve para la demostrción pero es gracioso.
Cuando aterricen, un jurado popular determinará que cada cuadrado no sólo es más grande que el anterior sino que "se alejan".

Juan Luis dijo...

Como método, es un método, sin duda, ;)

Lewi dijo...

Un numero al cuadrado X^2, para pasar a (X+1)^2, se le tiene que sumar 2X + 1. Es muy facil verlo graficamente:

http://img388.imageshack.us/img388/3121/cuadradomv9.jpg

X^2 es naranja, y para llegar a (x+1)^2 se le tiene que sumar 2X (azul) mas uno (verde).

De ahi, que cuanto mayor sea la X, mayor sera la distancia en los cuadrados