lunes, 13 de julio de 2009

Echando una manilla a Carroll

Demostrar que la diferencia de los cuadrados de dos números impares cualesquiera siempre es divisible entre ocho.

Este fue uno de los problemas que le pusieron a Lewis Carroll en la universidad, allá por 1850. ¿Le puedes echar una mano?

Lo leímos en "Lewis Carroll en el país de los números" de Robin Wilson.

5 comentarios:

Claudio dijo...

Numero impar = 2k+1
Diferencia cuadrados :
(2x+1)^2 - (2y+1)^2 = 4x^2+4x-4y^2-4y
= 4(x^2+x-y^2-y) hay que demostrar que este segundo termino es par.
Reordenando:
x^2-y^2+x-y = (x-y)(x+y)+(x-y)
=(x-y)(x+y+1)
Si x e y tienen igual paridad x-y es par, y si tienen distinta paridad x+y+1 es par por lo tanto independientemente de las paridades de x e y, (x^2+x-y^2-y) es par o sea que (2x+1)^2 - (2y+1)^2= 4x2xn por lo tanto es múltiplo de 8.

Anónimo dijo...

Basta ver que el cuadrado de todo número impar da resto 1 al dividir entre 8.

Sea n natural, entonces
(2n+1)²=4n²+4n+1=4n(n+1)+1=8(n(n+1)/2)+1

Veamos que n(n+1)/2 es siempre entero. Es así, porque si n es impar, n+1 es par y viceversa, por lo que el denominador 2 siempre se va a simplificar.

Por tanto, dado n, (2n+1)²=8k+1 para algún k (igual a n(n+1)/2 ), y esto implica directamente lo que queríamos probar.

Juan Luis dijo...

De acuerdo con los dos. Yo lo planteé convirtiendo la diferencia de los cuadrados en suma por diferencia y analizando también la paridad.

nykaa dijo...

Pufff me siento estúpida entrando a este blog, donde se dan comentarios tan sabios, con ecuaciones, muchisimos números y yo aquí no sé la respuesta dode está la respuesta.jajaja
Bueno sí que es verdad que este blog es de pensar y pufff, pensar da mucho calor,jajja.
Espero que tengas suerte en el concurso y nos des mucho que pensar jaja.
Saludos

Juan Luis dijo...

Gracias, Nykaa. Tranquila que hay retos para todos los gustos.