lunes, 30 de noviembre de 2009

Desmontando obviedades

¿Un número cuya parte entera es 1 siempre es mayor que otro cuya parte entera es cero?

Adaptado de uno de esos momentos en el aula en el que las matemáticas superiores brotan en mitad de las elementales.

29 comentarios:

Tito Eliatron dijo...

Suponiendo que la función parte entera de "x" se define como E(x)=único número entero "n", tal que n≤x<n+1, entonces la respuesta es SÍ.

porque
si E(x)=1, entonces 1≤x<2
si E(y)=0, entonces 0≤y<1

Por lo tanto,
0≤y<1≤x<2, de donde y<x.

Jareta1947 dijo...

¿Valen los negativos?

Lucía dijo...

Supongo que dependerá si el número es positivo o negativo...

Sam_314 dijo...

Es evidente:
x + 1 < y
Ent(x) < Ent(y)

jumez dijo...

Lo único que se me ocurre, que sería un caso en el que existiría una igualdad, es el caso de 0,9999... (periódico), que se puede demostrar matemáticamente que es igual a 1, pero paradójicamente su parte entera es cero.

Mowgli_72 dijo...

La prueba de Tito es concluyente. Vale para positivos, negativos y ambos (¿?).

Juan Luis dijo...

Era el caso que señala jumez... Aunque ahora dudo cuál debemos considerar la parte entera de 0,99999...

Sam_314 dijo...

No acepto esa definicion...
0.99999999... no es estrictamente 1.
Puede decirse que tiende a 1, que se puede considerar 1, pero no que sea igual a 1.

Juan Luis dijo...

¡Es exactamente igual, Sam! Basta convertir el decimal periódico a fracción y da 9/9 = 1.

Otra forma de verlo es: si no son iguales, ¿qué otro número está entre ambos?

Sam_314 dijo...

Sigo sin convencerme de que sean iguales...
Y te propongo algo que siempre me ha parecido una simple demostracion, pero que no tiene mucho sentido, pero bueno, la pongo y me dices...
1 = 0.999999... + 0.0000...0001

Sam_314 dijo...

Y por cierto, lo que has dicho de la fraccion el problema creo que está en que 1/3 no es 0.3333...
Es lo mismo que te he dicho antes, tiende a ello, se aproxima y se puede considerar como eso, pero en verdad no lo es...

Anónimo dijo...

Si 0,99999... = 1 (que es verdad, porque 0,99999 no es otra cosa que 9 veces 0,11111..., es decir, 9·1/9 = 9/9 = 1), entonces debe ser cierto que la parte entera de 0,99999... es 1.

Bonita paradoja.

Mowgli_72 dijo...

Jumez: si demuestras que 1=.9999 (periódico), ¿por qué sería la parte entera de .99999 (periódico) =0? Obviamente es 1, pues la parte entera de 1 es 1 (y números iguales tienen parte enteras enteras iguales). Como dijo Salinas: ¡No se hagan bolas!

bucles dijo...

0.99999... = 1.0000000 = 1

Por lo tanto sus partes enteras son iguales.

Ta lindo el problema para despistar.

Juan Luis dijo...

Claro, Sam, el problema es ¿dónde pones ese uno? Como son infinitos nueves, no lo podrías poner en ningún sitio.

Y por lo demás, sí que creo ya que la parte entera sería uno, aunque es llamativo en sí mismo, ¿no?

Anónimo dijo...

yo estoy con sam: si un número es igual a su anterior, o a su posterior, al final todos serán iguales entre sí

.... he dicho una tontería? :)

Anónimo dijo...

Sam, creo que convendrás en que, dados dos números reales a y b, si a es menor que b, entonces existe otro número real c tal que a < c < b. Este número no es único, pero se puede construir fácilmente un número que cumpla la propiedad, por ejemplo, podemos tomar la media aritmética, c=(a+b)/2.

Supongamos que 0,99999... es distinto de 1. ¿Me quieres decir qué número hay entre 0,99999... y 1? Recuerda que 0,99999... tiene INFINITOS nueves, por lo que es absurdo decir algo así como 0,99999...5.

bucles dijo...

Una forma de verlo es esta: decir A = 0.999999.... es equivalente a decir A = limite de la secuencia 0.9, 0.99, 0.999, 0.9999...
Ningún valor de la secuencia es igual a 1, pero el límite sí lo es.

jumez dijo...

Mowgli_72: no es cuestión de hacerse bolas. La respuesta directa a la pregunta que proponía Juan Luis es "sí", pero el caso del 0,9 periodo es curioso al menos. Yo no soy matemático por lo que dudo sobre cuál será la respuesta correcta, aunque me inclino a pensar, igual que tú, que dos números iguales tienen la misma parte entera.

bucles dijo...

Pueden leer algunas aclaraciones acá:

http://es.wikipedia.org/wiki/0,9_peri%C3%B3dico

Mowgli_72 dijo...

Jumez, yo sí soy matemático, pero ese no es el punto. La cosa es que 0.9999 (periódico) y 1 son iguales. Se han dado varios argumentos:
1)No hay ningún número entre ambos.
2)1/9=0.111111 y por lo tanto, al multiplicar por 9 ambos lados, tenemos que 1=0.999999

Estoy de acuerdo en que el caso es curioso, porque uno piensa que cualquier número real tiene una sola representación decimal, lo cual es falso (un ejemplo es 1=0.99999...).

Finalmente, dado que la función parte entera es justamente eso, una función, es claro que números iguales tienen parte entera igual, sin importar cuál de sus representaciones decimales usemos.

Mowgli_72 dijo...

Para el anónimo de las 12:10:
en el conjunto de números reales no hay ninguno que sea "anterior" o "posterior" a otro. Es una de las aparentes paradojas de esta teoría. Para convencernos, tratemos de pensar en el número posterior al 0, ¿cuál sería? ¿cuántos ceros tendría después del punto decimal?.
De otra manera: si c fuera ese número, c/2 también sería mayor que 0 y más próximo a él que c, lo que resulta en una contradicción. Así, es insostenible que exista un número posterior a 0. El mismo argumento funciona para cualquier otro número.

Rodrigo dijo...

"1" y "0,99..." no son numeros distintos, sino dos formas de escribir el mismo número ("uno").

El concepto de parte entera se establece para un número. La parte entera de "uno" es "uno".

La trampa está en pensar que la parte entera es "lo que está a la izquierda de la coma". Normalmente funciona, pero no en el caso de 0.99...

P.D. Otra aparente paradoja: tambien puede decirse que la parte entera de 1,5 es 0,99...

Furious Logic dijo...

Primera acotación:
-----------------

Hagamos lo siguiente:

t = 0,999...
u = 1

Asumamos que t=u luego:

t = u
0,999... = 1

pero:

0,999... = (9...)/(10...)

y también:

1 = (10...)/(10...)

entonces:

(9...)/(10...) = (10...)/(10...)

cancelamos denominadores iguales y nos queda:

(9...) = (10...)

Sea :

p = (9...) = (9...9)
q = (10...) = (10...0)

sumemos 1 a cada extremo:

(9...9) + 1 = (10...0) + 1
p + 1 = q + 1
(10...0) = (10...0) + 1
q = q + 1

entonces tendríamos:

q - q = 1
0 = 1

Lo que es una contradicción. Por lo tanto:

0,999... <> 1
t <> u

Anónimo dijo...

Para dar la razón a todos, interesante visión de si 1 igual a 0,9999... (en inglés)

http://betterexplained.com/articles/a-friendly-chat-about-whether-0-999-1/

Juan Luis dijo...

Creo que el fallo, Furious Logic, está en la expresión

0,999... = (9...)/(10...)

Porque ¿cuál es el denominador? ¡Serían infinitos ceros!, ¿no?

Anónimo dijo...

Otro fallo es simplemente el de suponer que existen números enteros tales como 999... o 1000...

Un número real no tiene por qué tener una última cifra decimal, e incluso podemos decir que ningún número real tiene última cifra decimal (pues se puede decir perfectamente que 1 es 1,00000... con todas sus cifras decimales, infinitas, iguales a cero).

Sin embargo, un número (natural o real) sí tiene que tener una última cifra entera, una última cifra de las unidades. Las expresiones 999... y 1000... no tienen última cifra entera, no son números tales como los conocemos, porque para hacer esa demostración tenemos que suponer que tienen infinitas cifras. Esto es así porque, si suponemos un número finito de cifras, 999...999/1000...000 = 0,999...999000... (un número finito de nueves), que no coincide con 0,999...999999... (infinitos nueves).

Furious Logic dijo...

Juan Luis:

0,999... son infinitos 9s

Para poder representarlo como fracción es:

9...
----
10...

Es decir, infinitos 9s sobre un 1 seguido de infinitos 0s

:o)

Juan Luis dijo...

Es lo que dice el comentario anterior, Furious, no puedes dividir números con infinitas cifras y, si no coges "todas" ya no son esos números.