martes, 12 de enero de 2010

Divisores potentes

El producto de los divisores propios de 24 es potencia del propio 24.

Hay hasta seis números más de dos cifras con esa propiedad (por supuesto el exponente no tiene por qué ser un cubo). ¿Sabrías descubrirlos?

Lo vimos en el libro "Recreations in the theory of numbers: the queen of mathematics entertains" de Albert H. Beiler.

8 comentarios:

Wan Link Sniper dijo...

12 ^ 2 = 144 ----> 1*2*3*4*6=144
18 ^ 2 = 324 ----> 1*2*3*6*9=324
20 ^ 2 = 400 ----> 1*2*4*5*10=400
24 ^ 3 = 13824 ----> 1*2*3*4*6*8*12=13824
28 ^ 2 = 784 ----> 1*2*4*7*14=784
30 ^ 3 = 27000 ----> 1*2*3*5*6*10*15=27000
32 ^ 2 = 1024 ----> 1*2*4*8*16=1024
40 ^ 3 = 64000 ----> 1*2*4*5*8*10*20=64000
42 ^ 3 = 74088 ----> 1*2*3*6*7*14*21=74088
44 ^ 2 = 1936 ----> 1*2*4*11*22=1936
45 ^ 2 = 2025 ----> 1*3*5*9*15=2025
48 ^ 4 = 5308416 ----> 1*2*3*4*6*8*12*16*24=5308416
50 ^ 2 = 2500 ----> 1*2*5*10*25=2500
52 ^ 2 = 2704 ----> 1*2*4*13*26=2704
54 ^ 3 = 157464 ----> 1*2*3*6*9*18*27=157464
56 ^ 3 = 175616 ----> 1*2*4*7*8*14*28=175616
60 ^ 5 = 777600000 ----> 1*2*3*4*5*6*10*12*15*20*30=777600000
63 ^ 2 = 3969 ----> 1*3*7*9*21=3969
66 ^ 3 = 287496 ----> 1*2*3*6*11*22*33=287496
68 ^ 2 = 4624 ----> 1*2*4*17*34=4624
70 ^ 3 = 343000 ----> 1*2*5*7*10*14*35=343000
72 ^ 5 = 1934917632 ----> 1*2*3*4*6*8*9*12*18*24*36=1934917632
75 ^ 2 = 5625 ----> 1*3*5*15*25=5625
76 ^ 2 = 5776 ----> 1*2*4*19*38=5776
78 ^ 3 = 474552 ----> 1*2*3*6*13*26*39=474552
80 ^ 4 = 40960000 ----> 1*2*4*5*8*10*16*20*40=40960000
84 ^ 5 = 4182119424 ----> 1*2*3*4*6*7*12*14*21*28*42=4182119424
88 ^ 3 = 681472 ----> 1*2*4*8*11*22*44=681472
90 ^ 5 = 5904900000 ----> 1*2*3*5*6*9*10*15*18*30*45=5904900000
92 ^ 2 = 8464 ----> 1*2*4*23*46=8464
96 ^ 5 = 8153726976 ----> 1*2*3*4*6*8*12*16*24*32*48=8153726976
98 ^ 2 = 9604 ----> 1*2*7*14*49=9604
99 ^ 2 = 9801 ----> 1*3*9*11*33=9801

Wan Link Sniper dijo...

1000008

1000008 ^ 47 = 1000376069192302810633306928074234820815061666279496201810243000872839486610424038933287727869912033973940529855107010208070447448034504402982063686622445331621648268883030595282118636470147526427967358456974879404953363640291472129257937357010131553870217964846963668369999556247552

Divisores propios: [1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 17, 18, 19, 24, 34, 36, 38, 43, 51, 57, 68, 72, 76, 86, 102, 114, 129, 136, 152, 153, 171, 172, 204, 228, 258, 306, 323, 342, 344, 387, 408, 456, 516, 612, 646, 684, 731, 774, 817, 969, 1032, 1224, 1292, 1368, 1462, 1548, 1634, 1938, 2193, 2451, 2584, 2907, 2924, 3096, 3268, 3876, 4386, 4902, 5814, 5848, 6536, 6579, 7353, 7752, 8772, 9804, 11628, 13158, 13889, 14706, 17544, 19608, 23256, 26316, 27778, 29412, 41667, 52632, 55556, 58824, 83334, 111112, 125001, 166668, 250002, 333336, 500004]

Juan Luis dijo...

La lista del libro era mucho más reducida, así que ¡gran trabajo!

Wan Link Sniper dijo...

Un problemilla muy entretenido, Juan Luis. En este post explico como los he encontrado.

Juan Luis dijo...

Gracias por la entrada, que nos permite ver el proceso...

Anónimo dijo...

Es que ocurre siempre. Los divisores de un número vienen siempre por pares, por lo que siempre ocurre esto. De hecho, basta con contar cuántos pares de divisores tiene un número: el producto de todos ellos será esa potencia del número original.

Por ejemplo, en el caso de 24, hay tres pares de divisores propios: 2·12, 3·8 y 4·6. Por eso, el producto de todos ellos es igual a 24³.

Una vez dicho esto, el ordenador es muy eficiente para calcular el valor de ese producto, pero donde esté el razonamiento puramente matemático que se quite todo lo demás. ;)

Juan Luis dijo...

Pues ahora que lo dices, llevas toda la razón...

Anónimo dijo...

En efecto, la gran excepción a eso que dije antes son los números que son cuadrados. Por ejemplo, 36 = 2·18 = 3·12 = 4·9 = 6·6. Cuando calculamos el producto de todos ellos, sólo podemos tomar una vez el 6, por lo que no queda 36 elevado a 7/2.