lunes, 18 de enero de 2010

El número olvidado

No recuerdo el número, sólo sé que era diecinueve unidades mayor que un cuadrado perfecto y dieciocho menos que otro cuadrado perfecto.

Adaptado de "Situaciones problemáticas" de Jaime Poniachik.

5 comentarios:

Wan Link Sniper dijo...

343 (retenlo si quieres un día para dar una oportunidad al resto de lectores)

listaCuadrados=[]
[TAB]for i in range(1000):
[TAB][TAB]listaCuadrados.append(i*i)

for i in xrange(10000):
[TAB]if (i-19) in listaCuadrados and (i+18) in listaCuadrados:
[TAB][TAB]print i,i-19,i+18

Anónimo dijo...

Este problema es parecido al resuelto por Fibonacci allá por el año 1225 y que recoge en su obra Liber Abaci.
Fibonacci considera que los números 18 y 19 son proporcionales y toma el producto de ambos:
18*19=342
Al tratarse de dos números consecutivos, su diferencia es uno, por tanto, el número buscado debe ser 342+-1.
El 342-1=341 no es ya que 341+18=359 ni 341-19=322 no son cuadrados perfectos.
El 342+1=343, donde la suma de 18 y la resta de 19 son 361 y 324, respectivamente, cifras que sí son cuadrados perfectos, luego:
343+18=361=19^2
343-19=324=18^2
Otra similitud con este problema lo encontramos en el que le plantearon a Ramanujan, que le pidieron resolver:
x^(1/2)+y=7, y^(1/2)+x=11,
la solución dada fue de
x=9=3^3, y=4=2^2.
Rafael de Barcelona
Ah! Creo que eres el hijo de Antonio Roldán Rodríguez, ¿me equivoco?

Juan Luis dijo...

Bueno, es de Antonio Roldán Martínez, pero imagino que nos referimos al mismo, ¿no? Saludos cordiales.

Anónimo dijo...

La diferencia entre n² y (n+1)² es 2n+1. Sea 2n+1=37, luego n=18, luego n²=324, (n+1)²=361 y el número buscado es 343.

Esta solución es única porque los cuadrados a los que alude el problema deben ser consecutivos, pues en ningún otro caso la diferencia entre ellos puede ser un número primo (cosa que ocurre en este problema). Veámoslo. Supongamos que los cuadrados son n² y (n+k)², luego tenemos que su diferencia es (n+k)²-n²=2nk+k²=k(2n+k), que es producto de dos factores y por tanto sólo puede ser un número primo si k=1.

Wan Link Sniper dijo...

Jejeje, la diferencia entre la fuerza bruta y la inteligencia aplicada, mi único consuelo es que me llevó minuto y medio ;-)))