jueves, 7 de enero de 2010

Las virtudes del 2010

2010 = 13+13+43+63+123=
51+51+53+54+54+54=
21+23+24+26+27+28+29+210


Leído en Números y hoja de cálculo, donde han dedicado varias entradas a enumerar distintas e interesantes propiedades del número 2010.

5 comentarios:

Mowgli_72 dijo...

No encuentro lo especial de estas virtudes. Cualquier número se puede escribir como suma de potencias de dos, como suma de potencias (repetidas hasta cuatro veces) de cinco, y los primeros números no tienen nada de particular mas que terminar en tres.
Ejemplifico como escribir 2010 como suma de potencias de 3 (repetidas hasta dos veces):
2010= 3^6 + 3^6 + 3^5 + 3^5 + 3^3 + 3^3 + 3^2 + 3^1


¿Alguna pista sobre las virtudes del 2010?

Juan Luis dijo...

No, Mowgli, los primeros números son cubos, no acabados en tres (aunque es verdad que se lee con dificultad).

Y no entiendo bien a qué te refieres con que se puede con cualquier número. ¿Cómo escribes por ejemplo, 91 como suma de potencias de 5?

Mowgli_72 dijo...

Ok. Tienes razón sobre las primeras cifras, hay que entenderlas como cubos para que la suma sea correcta.

¿Te parece si usamos circunflejos para indicar potencias?

91=5^2+5^2+5^2+5^1+5^1+5^1+5^0
Espero no te conflictue que use la potencia 0...

Lo único que estamos haciendo es expresar 2010 en base 5 y 2, así como 91 en base 5. Se puede para cualquier número, sólo tienes que encontrar la potencia más alta que no rebasa al número, dividirlo entre ella y luego repetir el proceso con el residuo de esta división, tantas veces como sea necessario. Normalmente escribimos los números en base 10, pero se puede usar cualquier base entera (distinta de uno).

2010=10^3+10^3+10^1

Usamos los ceros de 2010 para indicar que no aparece 10^2 ni 10^0, el primer dos indica que aparece dos veces 10^3, mientras que el 1 indica que aparece una vez 10^1.

Saludos...

Juan Luis dijo...

Claro, imaginé que te referías a eso, pero aunque por supuesto que elevar a 0 es una potencia, ya no resulta igual de interesante (aunque sí "legal", claro)

Mowgli_72 dijo...

Juan Luis, como no nos gusta la potencia cero, va lo siguiente:
2010=2*5*251, así que los divisores de 2010 (excluyendo al 1) son 2,5,10,251, 502,1005,2010. Haz las cuentas, verás que podemos escribir a 2010 como suma de potencias de estos números sin usar la potencia cero.

De hecho, en general es posible expresar un número como potencias de sus divisores (excluyendo al 1) sin usar la potencia cero.