Buscar tres números (distintos de cero) cuya suma sea un cuadrado y, al sumarlos dos a dos, dé en todos los casos también como resultado un cuadrado.
Otro problema que, según cuenta David Wells en "The Penguin book of curious and interesting puzzles", resolvió también Diofanto.
lunes, 30 de agosto de 2010
Más problemas para Diofanto
Suscribirse a:
Enviar comentarios (Atom)
8 comentarios:
2+2+2=3^2 y 2+2=2^2
No entiendo lo de 2+2+2=3^2, Jrams.
Yo encontré dos tríos:
41 - 80 - 320
41+80=121=11^2
41+320=361=19^2
80+320=400=20^2
41+80+320=441=21^2
y 88 - 168 - 273
...les dejo la comprobación a ustedes...
El otro día, en la fila del banco, encontré un anuncio que decía:
"Salte de la fila",
mismo que invitaba a hacer uso de un nuevo tipo de cajeros automáticos. La cosa es que si nos están hablando de tú, significa una cosa y si nos están hablando de usted significa otra (salte de salir, salte de saltar). ¿Qué otros ejemplos hay de frases como ésta?
Muy bueno, Sael, voy a proponerlo este miércoles.
¡Muy bien, Juanjo! El primer "trío" era el que propuso Diofanto y ya he comprobado que, sí, que el segundo también es correcto. ¿Habrá más?
Un par más:
136 - 264 - 825
65 - 464 - 560
y abandono la búsqueda...
Infinitos ejemplos de nuevo. Me baso en el primer ejemplo de Juanjo, que tiene números más o menos sencillos de manejar, y utilizo la idea de que n²-(n-1)²=2n-1, mientras que (n²+1)-n²=2n+1, que es lo que tenemos con 19², 20² y 21².
El tema es encontrar a, b y c de forma que
a=20k+1
b=40k
c=100k²-40k
Entonces queda
a+b=60k+1
a+c=100k²-20k+1=(10k-1)²
b+c=100k²=(10k)²
a+b+c=100k²+20k+1=(10k+1)²
Todos son cuadrados obligatoriamente menos a+b, pero basta con hacer variar la k y tenemos:
k=2 → (a,b,c)=(41,80,320)
k=6 → (121,240,3360)
k=14 → (281,560,19040)
k=16 → (321,640,24960)
...
Nótese que 41+80=11², 121+240=19², 281+560=29² y 321+640=31².
Esta sucesión de cuadrados se va a ir repitiendo módulo 30:
11,19,29,31
41,49,59,61
71,79,89,91
101,109,119,121...
con lo que este modelo acabará dando infinitas soluciones.
Publicar un comentario en la entrada