lunes, 30 de agosto de 2010

Más problemas para Diofanto

Buscar tres números (distintos de cero) cuya suma sea un cuadrado y, al sumarlos dos a dos, dé en todos los casos también como resultado un cuadrado.

Otro problema que, según cuenta David Wells en "The Penguin book of curious and interesting puzzles", resolvió también Diofanto.

8 comentarios:

jrams dijo...

2+2+2=3^2 y 2+2=2^2

Juan Luis dijo...

No entiendo lo de 2+2+2=3^2, Jrams.

Juanjo dijo...

Yo encontré dos tríos:
41 - 80 - 320
41+80=121=11^2
41+320=361=19^2
80+320=400=20^2
41+80+320=441=21^2

y 88 - 168 - 273
...les dejo la comprobación a ustedes...

Sael dijo...

El otro día, en la fila del banco, encontré un anuncio que decía:
"Salte de la fila",
mismo que invitaba a hacer uso de un nuevo tipo de cajeros automáticos. La cosa es que si nos están hablando de tú, significa una cosa y si nos están hablando de usted significa otra (salte de salir, salte de saltar). ¿Qué otros ejemplos hay de frases como ésta?

Juan Luis dijo...

Muy bueno, Sael, voy a proponerlo este miércoles.

Juan Luis dijo...

¡Muy bien, Juanjo! El primer "trío" era el que propuso Diofanto y ya he comprobado que, sí, que el segundo también es correcto. ¿Habrá más?

Juanjo dijo...

Un par más:
136 - 264 - 825
65 - 464 - 560

y abandono la búsqueda...

Anónimo dijo...

Infinitos ejemplos de nuevo. Me baso en el primer ejemplo de Juanjo, que tiene números más o menos sencillos de manejar, y utilizo la idea de que n²-(n-1)²=2n-1, mientras que (n²+1)-n²=2n+1, que es lo que tenemos con 19², 20² y 21².

El tema es encontrar a, b y c de forma que
a=20k+1
b=40k
c=100k²-40k

Entonces queda
a+b=60k+1
a+c=100k²-20k+1=(10k-1)²
b+c=100k²=(10k)²
a+b+c=100k²+20k+1=(10k+1)²

Todos son cuadrados obligatoriamente menos a+b, pero basta con hacer variar la k y tenemos:

k=2 → (a,b,c)=(41,80,320)
k=6 → (121,240,3360)
k=14 → (281,560,19040)
k=16 → (321,640,24960)
...

Nótese que 41+80=11², 121+240=19², 281+560=29² y 321+640=31².
Esta sucesión de cuadrados se va a ir repitiendo módulo 30:
11,19,29,31
41,49,59,61
71,79,89,91
101,109,119,121...
con lo que este modelo acabará dando infinitas soluciones.