lunes, 16 de agosto de 2010

Todo cuadra

Encontrar tres números de manera que, al añadir al producto de dos cualesquiera de ellos el valor del tercero, el resultado sea siempre un cuadrado.

Es un antiguo problema al que Diofanto de Alejandría dió (la supongo única) solución, según cuenta David Wells en "The Penguin book of curious and interesting puzzles".

10 comentarios:

Juanjo dijo...

¿Qué tipo de números?
Es bastante sencillo y hay varias soluciones si podemos usar el cero:
0-1-2 0-4-9 0-4-16
pero seguramente esto "no le cuadra" a Juan Luis...
Seguiremos pensando.

Juan Luis dijo...

Efectivamente, sería sin el cero. Y, en cualquier caso, 0-1-2 no valdría, ¿no?

Inés dijo...

Hola a tod@s.
¿Usando los cuadrados de tres números cualquiera?
He probado con el 4,9 y 16 y se cumple, y con el 25,36 y 48 y también, así que supongo que será extensible a cualquiera. ¿puede ser?

Juan Luis dijo...

Creo que hay algún error, Inés. Para que valieran 4, 9 y 16 tendrían que ser cuadrados los resultados de 4x9+16, 4x16+9 y 9x16+4.

Juanjo dijo...

Es cierto, se me escapó el 0-1-2!
Para compensar el error aqui va:
28 - 36 - 513
(con la colaboración del amigo Excel)

Juan Luis dijo...

¡Genial, Juanjo! Curiosamente la solución oficial es mucho más sencilla (Diofanto no disponía del Excel, ;)), pero veo que hay otra solución (y no sé si habrá más)

Juanjo dijo...

Si es más sencilla debería haberla encontrado por el método que utilicé... seguiré buscando.
Diofanto no tenía Excel y seguramente tampoco un amigo a la distancia que le proponía abrir la cabeza todos los días...

Anónimo dijo...

(1,7,9)

1·7+9=16
1·9+7=16
7·9+1=64

Y todos son cuadrados.

No es muy difícil en realidad. Sabemos que (n-1)(n+1)=n²-1, con lo que al sumarle 1 tenemos un cuadrado. Sólo necesitamos que (n-1)+(n+1) = 2n también sea un cuadrado. En efecto, también funciona para (1,17,19), (1,31,33), (1,49,51), etc.

Si en lugar de tomar (n-1)(n+1) optamos por (n-k)(n+k)=n²-k², podemos sumar k² para obtener un cuadrado. Es decir, tendríamos la terna (k²,n-1,n+1) con la condición de que k²(n-1)+(n+1) y k²(n+1)+(n-1) sean cuadrados. Pero ese caso no lo he mirado, como tampoco he mirado qué ocurre si en vez de sumar k² sumamos k²+2n+1, o k²+4n+4, o cualquier otra cosa así

Juan Luis dijo...

Muy completo análisis. La solución de Diofanto era 1,7 y 9, pero, como ha quedado demostrado (por nuestro anónimo colaborador), hay infinitas ternas.

Juanjo dijo...

A todas las soluciones tipo 1 -(n-1) - (n+1)) podemos agregarles estas otras:
1-3-33, 1-7-57, 1-8-136, 1-12-184, 1-15-385, 1-19-465, 1-24-876, 1-28-996
Y para salirnos del uso obligatorio del 1, esta otra: 4-25-924