lunes, 18 de octubre de 2010

Intentando ser racional

¿Puede un número irracional elevado a otro número irracional, dar como resultado un número racional?

Es un problema incluido en "Litton's Problematical recreations" que nosotros vimos en "The Penguin book of curious and interesting puzzles", donde incluyen una respuesta que, siendo intachable, nos deja algo insatisfechos.

Actualización: el ejemplo que planteban en el libro es raíz de 2 elevado a raíz de 2 y razonaban: si el resultado es racional, ya está demostrado. Y si es irracional, lo elevo de nuevo a raíz de 2, irracional, y ya me da raíz de 2 al cuadrado, o sea, 2. Con lo que se cumple de una o otra manera. El resultado es irreprochable, pero a mí me queda la duda. ¿Es raíz de 2 elevado a raíz de 2 irracional o no?

4 comentarios:

Anónimo dijo...

Una posible respuesta sería la identidad de Euler e a la pi*i = -1 pero tiene un valor imaginario así que no creo que valga.

Opto por potencias irracionales inversas: 2 a la 1/pi es irracional entonces este valor elevado a la pi sería 2 el cual es racional

Juan Luis dijo...

Sí, la idea iba más por las potencias y el ejemplo que planteas entiendo que es correcto.

Tito Eliatron dijo...

Creo que el ejemplo más sencillo es:

Tomo x=e; y=ln2 ambos irracionales.

x^y=e^ln2=2 que es racional.

Juan Luis dijo...

De acuerdo, buen ejemplo, Tito.