lunes, 2 de mayo de 2011

Número denso

¿Cuál es el menor número con exactamente 100 divisores (incluidos sí mismo y la unidad)?

Un problema de "Ludopatía Matemática", de Mariano Mataix.

6 comentarios:

Lucía dijo...

100!

Dani Toledo dijo...

El que es producto de los 99 primeros primos, incluyendo la unidad, es lo primero que se me viene a la cabeza.

Pero en realidad imagino que será el producto de los 100 primeros números, a secas. Si estoy en lo cierto, Matlab me dice que es 9.3326e+157

Dani dijo...

Uhmmm, acabo de pensar que eso no es lo correcto. Habría que multiplicar los números dentro de los 100 primeros naturales que no aparecen como divisores de otros del mismo grupo. Es decir, en vez de incluir el 2 o el 4, se incluiría el 64; en vez del 3, el 81; en vez de el 5, el 100; en vez de el 6, el 72 (6x6x2). Y así con todos... Un poco coñazo la verdad

Juan Luis dijo...

El número es más pequeño que los propuestos. Lo que hay que pensar es cómo se puede obtener un número con 100 divisores en general y luego ya procurar que sean los más pequeños. Y el análisis no se hace muy largo por esta vía, Dani...

Claudio dijo...

La cantidad de divisores se puede calcular multiplicando los exponentes (mas uno) de la descomposición del número en factores primos.
Así si el número es a^2 b^3 la cantidad de divisores es (2+1)x(3+1)=12. Como se pide que tenga 100 y 100 es igual 2x2x5x5 hay que buscar el menor número del tipo a x b x c^4 x d^4 = 5 x 7 x 2^4 x 3^4 = 5x7x16x81 = 45360

Juan Luis dijo...

Eso es, Claudio, habría otras combinaciones que dieran igual a 100, pero la que comentas es la que da lugar a un menor resultado. ¡Saludos!