Pi vale 4

Osamoilo, en la lista Snark ha enlazado esta curiosa imagen que aparece en 9gag:

La imagen ya circuló hace un par de años y hasta apareció en Menéame (con éxito). La cosa tiene su enjundia. A partir de una circunferencia de radio 1, construimos un cuadrado a su alrededor, que tendrá perímetro 4. Vamos removiendo esquinas (¿al estilo fractal?) de manera que se va formando una línea que mantiene perímetro 4 pero que cada vez es más próxima a la circunferencia. Repitiendo el proceso hasta el infinito, ¿llegamos a la conclusión de que Pi vale 4?

Lógicamente la Red está llena de "explicaciones" sobre el tema. La que más me ha convencido es ésta que leí en qntm (la he traducido con un traductor on-line y luego la he retocado).

1) La imagen que se describe es una serie de curvas. (Aquí, "curva" es un término genérico que hace referencia a una línea continua, ya sea recta, quebrada (crooked) o curvada.)

2)Esta serie de curvas converge a una curva límite.

3) La curva  límite es una circunferencia . (No, no es una curva de dientes de sierra, ni una curva de dientes de sierra "infinitamente irregular" ni es un fractal. La curva límite es una circunferencia perfecta, perfectamente lisa).

4) La longitud de la curva de límite es exactamente pi (3,14 o ​​así) (Debido a que es una circunferencia  perfecta con un diámetro de 1).

5) Cada curva de la serie también tiene una longitud bien definida.

6) Cada curva de la serie tiene una longitud de exactamente 4.

7) Así, las longitudes de las curvas también forman una serie: 4, 4, 4, 4 ....

8) Esta serie también converge a un límite. El límite es 4, no pi.

9) Ninguno de estos hechos se contradicen entre sí.

Si no entiendo mal, la clave, pues, parece ser que el hecho de que las curvas converjan a una cierta curva, no implica  que las longitudes de esas curvas converjan a la longitud de la curva límite. ¿Es esa la idea?

Por cierto, que, rebuscando sobre el tema, encontré esta divertida secuencia de Los Simpson sobre Pi que no me resisto a incluir.

Esta entrada participa en la Edición 3,1415 del Carnaval de Matemáticas, alojada en Gaussianos.

Actualización: añadimos el vídeo que comentaba el Mago Moebius que, además del caso que mencionamos en la entrada, señala otros (está en inglés):