sábado, 26 de septiembre de 2015

El arte de mirar fuera de la caja

Esta reflexión nace de un interesante debate que mantuvimos ayer en Twitter sobre este problema. Aquí mostramos la versión de Sam Loyd (aunque parece que antes lo había propuesto Dudeney), que se refiere a él como uno de los trucos con huevos de Cristobal Colón. Se trata de pasar por los nueve huevos con la menor cantidad de trazos rectos posibles y sin levantar el lápiz del papel. Esta es la solución que daba Loyd:
El asunto tiene su importancia porque el reto y la solución alimentaron a partir de los años setenta una teoría, la de "pensar fuera de la caja", que, si en el caso del problema, era poder "salir" del recinto natural que formaban los nueve puntos, en general se refiere a buscar otros caminos a la hora de afrontar un problema (no obligatoriamente matemático) y no restringirse a los límites que aparentemente parecen existir.

El caso es que ayer, desde Soy Matemáticas proponían este reto (también clásico) derivado del anterior: "sin levantar el lápiz del papel, traza 3 líneas rectas de tal forma que atraviesen los 9 puntos". 

Y aquí viene el debate, la solución es una de este estilo:

Y esta solución asume que los puntos propuestos tienen un área, y varias personas señalaban ayer (con lógica) que los puntos en Matemáticas no tienen dimensiones. 

(Actualización: se nos olvidaba (nos lo recordó Lola) que Ivan Moscovich en su BrainMatics citaba dos soluciones extremas de una línea: o un gran brochazo que cubriera los 9 puntos o una línea que diera tres vueltas alrededor del mundo).



Aquí es dónde surge una discusión que creo (y aquí ya hablo, como profesor y en primera persona) muy interesante. La cuestión es, a la hora de proponer problemas al alumnado, hasta qué punto debemos ser estrictos con las soluciones. O, dicho de otra manera, si permitir cierta flexibilidad en la respuestas de los alumnos a problemas que se planteen provoca (o no) que sean menos rigurosos.

Mi opinión es que cuánto mayor sea la libertad que demos al alumnado (cuánto más les permitamos "jugar" con las Matemáticas), más se estimulará su espíritu crítico y, por tanto, darán las cosas menos por sentadas. Por ejemplo, hay una trampa que suelo poner a los alumnos. Cuando estudiamos el criterio que, comparando el cuadrado de la longitud del lado mayor de un triángulo con la suma de los cuadrados de los otros dos, permite ver si un triángulo es obtusángulo, rectángulo o acutángulo, les propongo por ejemplo el de lados 8, 5 y 3. Enseguida dicen "¡Obtusángulo!" y yo siempre me acuerdo de Tarantino:
Aunque como eso no es políticamente correcto, me limito a señalarles que con esas medidas el triángulo jamás se levantará de su base, y que el criterio que usábamos era para triángulos, y eso no es un triángulo. Dicho de otra forma, que, como decíamos, no demos nada por sentado.

En esa línea, los primeros días suelo proponer al final de clase retos clásicos como que la mitad de doce puede ser siete (si está en números romanos) o que a partir de esta figura, se pueden quitar cinco palillos (o cuatro) y que quede uno.
Y del mismo modo, desde un punto de visto más estrictamente matemático, a lo largo de las explicaciones les hago siempre dudar de si, cuando dividimos entre un término, este podría ser cero en algún caso, o, si una expresión que usamos, realmente existe para todos los valores. Dicho de esta manera, que no sean rutinarios, que estén siempre en guardia.

En resumen, pienso que crear alumnos críticos e imaginativos no es incompatible con que sean rigurosos (más bien al contrario). A veces serán críticos con nosotros, por cierto, y con razón. Por ejemplo, este clásico que circula por la Red y que mucha gente incluye en la lista de burradas matemáticas, la de "encuentra la x":


Uno duda de si aquí la culpa no es de un enunciado tan escueto, de manera que, ante él, probablemente alguien tan escrupulosamente lógico como Sheldon Cooper daría por buena la solución del dibujo.