Archivo de las Revistas Cacumen

Por un problema de los enlaces, tuvimos que quitar la entrada con todas las revistas Cacumen. De momento puedes acceder a todas ellas en este enlace:

https://ln4.sync.com/dl/08728dc80/8k25azv3-hh6nnibj-jxtrjiyg-s5cppcif

El Espejo se hace más pequeño

 

Dada la situación que vive el planeta, y considerando que el tráfico por internet es una importante causa de gasto energético (puede leerse información seria al respecto por ejemplo en Opcions), vamos a ir "podando" progresivamente el blog eliminando muchas de sus entradas (ya hemos borrado varios cientos). Conservaremos las más populares (aunque hemos borrado varias de las más visitadas), las que han generado más comentarios o aquellas a las que simplemente les tenemos cariño. Seguiremos publicando de vez en cuando algunos contenidos relevantes y, por supuesto, agradeceremos siempre vuestra visita a las entradas antiguas. 

Libro de enigmas de Casos Policiacos

Tenemos el placer de presentaros este nuevo volumen de la colección Enigmas para darle al coco, con retos referidos en este caso a Casos Policiacos en los que habrá que utilizar la lógica para resolver 88 misterios relacionados con timos, robos, crímenes, mensajes secretos..., siempre en un tono desenfadado y, de nuevo, con el gran soporte de las magníficas ilustraciones de Víctor Gomollón.

En la web de la editorial Larousse podéis ver la ficha completa del libro así como la vista previa de algunas páginas.

Si os interesa, como siempre os animamos a comprarlo en alguna de las pequeñas librerías de toda España que lo ofrecen en Todostuslibros. En caso contrario, en la web de la editorial aparecen todas las opciones de compra, incluidas las distintas sucursales de la Casa del Libro.

Libro Enigmas para darle al coco

Tenemos el gusto de presentaros el libro "Enigmas para darle al coco. Lógica, Matemáticas e Ilusionismo", escrito por el autor de este blog y con magníficas ilustraciones de Víctor Gomollón. En él encontraréis 88 retos repartidos en cinco capítulos: : «Elemental...» (enigmas policíacos), «Con pies y cabeza» (lógica), «Jaque mates» (matemáticas), «La gran ilusión» (ilusiones ópticas) y «Magia potagia».

En la web de la editorial Larousse podéis ver la ficha completa del libro así como la vista previa de algunas páginas.

Si os interesa, os animamos a comprarlo en alguna de las pequeñas librerías de toda España que lo ofrecen en Todostuslibros. En cualquier caso, en la web de la editorial aparecen todas las opciones de compra, incluidas las distintas sucursales de la Casa del Libro.

10 joyas del ingenio para tiempos difíciles

Incluimos en esta entrada enlaces a diez  tesoros que puedes encontrar en la Red. Por supuesto, también puedes acceder a nuestros libros gratuitos en descarga o visitar nuestro Museo Ilusionario. Aquí van estas referencias, que las disfrutéis.

1) La colección de ilusiones ópticas de Richard Balzer. Com ilusiones ópticas muy poco conocidas numerosos y objetos de pre-cine. Una maravilla.

2) La brutal colección de palíndromos de Víctor Carbajo: al momento de escribir estas líneas son 212.212 palíndromos que puedes descargar. Aproximadamente la mitad son del propio Carbajo y el resto de otros autores, tanto escritores conocidos como aficionados al género.

3) La Cyclopedia de Sam Loyd, una increíble colección (un tanto deslavazada, pero apasionante) de 5000 acertijos del maestro americano del género. Está publicada hoja a hoja en Math Puzzle, donde también ofrecen descargarla integamente. También puedes descargarla de Archive.org.

4) La colección de rompecabezas mecánicos y juegos de ingenio de Jerry Slocum, con unas 34.000 referencias. Cada juego está referenciado con una ficha con su procedencia y autor.

5) La galería del fotógrafo Chema Madoz, un genio de la poesía visual y la fotografía en Blanco y Negro.

6) La página de ilusiones ópticas del investigador Akiyoshi Kitaoka. Aunque se trata de una página científica navegar entre sus cientos de trabajos es un continuo desafío a los sentidos.

7) La página de ambigramas de John Langdon, uno de los maestros del género.

8) Las páginas web de dos genios del diseño gráfico: la del español Javier Jaén y la del israelí Noma Bar.

9) Si has disfrutado con la colección de revista Cacumen que publicamos el otro día, puedes recorrrer la de la Revista El Acertijo, dirigida por el matemático argentino Jaime Poniachik en los años noventa. Hace unos años, Markelo Iglesias las escaneó y publicó. Actualización: Markelo nos avisa de que pueden verse en este blog. Además, nos anima a recorrer también los números de la precursora Revista del Snark. 

10) Los vídeos creados por ordenador del artista español Cristóbal Vila, cuyos trabajos están llenos de efectos sorprendentes y referencias matemáticas. Su último trabajo es Infinite Patterns:

Top 5 de aberraciones estadísticas

Gracias a un trabajo de búsqueda de estadísticas manipuladas que propusimos a nuestros alumnos, hemos encontrado algunas joyas que, junto a otras ya conocidas, nos permite elaborar este top. Vamos del puesto 5 al 1.

Top 5. Qué maravilla lo que ha bajado el paro.

Gráfico tomado de la pública Televisión Española. O cómo convertir un descenso de poco más de 300.000 en un estupendo tobogán. ¿Ejes, quién necesita ejes?

Top 4. O cómo mezclar millones y millares en la misma gráfica sin despeinarse.

En este gráfico del partido español Podemos conviven datos de un millón y medio con otros de apenas dos mil. Sí, es cierto que el gráfico real no cabría en el papel.

Top 3. Porque mis décimas lo valen.

Sí, son sólo 3 décimas, pero ¡qué décimas! Poco más que añadir.

Top 2. Si he dicho que tiene que subir, sube.

Lo mostró el dirigente Pablo Casado, del Partido Popular español, en un debate electoral de 2016 y luego fue publicado (aunque borrado) en la cuenta de Twitter del partido. Además de la desproporción de las barras (las variaciones de las cantidades son mínimas respecto a su magnitud) la quinta barra corresponde a una cantidad menor que la tercera.

Top 1. O la aniquilación del enemigo.

Ya lo conocíamos, corresponde a las elecciones venezolanas de 2013 y, en fin, sobran las palabras.

Alicia y Lewis Carroll en los libros

A raíz de un artículo de Rodrigo Fresán en Babelia sobre la obra y su influencia (cumple en 2015 ciento cincuenta años), hemos querido rescatar diversos libros relacionados con la "Alicia en el País de las Maravillas" de Lewis Carroll así como con el propio autor, aunque algo ya empezamos a hacer en su día.

Si uno quiere acercarse a la obra en sí, la edición Anotada de Martin Gardner, en español, es por supuesto imprescindible, si bien para disfrutarla basta cualquiera de las ediciones en bolsillo, como la clásica de Alianza.

También se ha editado con el título de "Aventuras subterráneas de Alicia" el manuscrito original (y anterior) que elaboró Carroll con sus propios dibujos (previos a los magníficos de John Tenniel). Nosotros lo tenemos en la edición de José J. de Olañeta.

Imagen del manuscrito original con dibujo de Carroll.

En lo relativo a la vida de Carroll, la biografía fundamental sigue siendo la de Morton N. Cohen, aunque Fresán habla de una reciente (aún no traducida) de Douglas-Fairshut, "The Story of Alice"que abunda precisamente en la relación del autor con la propia Alice Liddell así como de la repercusión que tuvo la obra.

La biografía de Douglas-Fairhurst.

Para completistas existe también en español una biografía de Henri Parisot curiosa y muy ilustrada. Está descatalogada, aunque, rebuscando un poco, se consigue.

Hay también libros de su faceta como fotógrafo como "El día de asueto de un fotógrafo", pero resultan inquietantes desde la óptica actual por los retratos que hacía de las niñas así como por su relación con ellas, cuanto menos extraña.

En lo relativo a los problemas y retos de Carroll, Nivola ha editado tanto "Los problemas de almohada" como "Un cuento enmarañado".

En español quizá el más completo, que estudia no sólo los problemas, sino toda la matemática de Carroll es "Lewis Carroll en el País de los Números" de Robin Wilson.

Más curioso y difícil de encontrar es una transcripción de los problemas que Carroll propuso en las revistas caseras que ideó en su juventud: "El paraguas de la rectoría" y "Cajón de sastre" en edición de Carlos Sánchez-Rodrigo.

"Alimentar la mente"a su vez reúne dos textos de Carroll, una conferencia que da título al libro y un ensayo sobre cómo escribir cartas.

Merece la pena también el volumen de Leopoldo M. Panero (poeta que nunca deja indiferente) "Matemática demente", que recoge alguno de los "nudos" de Carroll traducidos e introducidos por el propio Panero.

También tradujo Panero "La caza del snark" que Ediciones Libertarias editó en su día en edición bilingüe.

Otra traducción algo inencontrable del extraño poema del Snark es la de Adolfo Sarabia que publicó la Universidad de Valladolid con el título de "La caza del Carabón Reivindicada".

Volviendo a retos y problemas, en inglés hay muchos títulos conocidos, el que más quizá "The universe in a handkerchief" también de Gardner.

Menos conocidos pero muy recomendable son los libros de Edward Wakeling "Lewis Carrolls games and puzzles" y "Rediscovered Lewis Carroll puzzles".

Más completo y variado es aún "The Magic of Lewis Carroll" de John Fisher.

También hay otras obras de otros autores inspiradas en Alicia como el libro de acertijos "Alicia en el país de las adivinanzas" de Raymond Smullyan,

Diferente es "Alicia en Westminster", una recopilación de cuentos satíricos de Saki en la que utiliza a Alicia como personaje de los relatos.

Y por supuesto nuestra Lea(h), que aún podéis descargar si no la habéis leído o participar resolviendo sus retos aquí en el blog o en su página de Facebook.

Actualización: incluimos en la lista "La ciencia en el país de las maravillas" de Claudio Sánchez.

Los cubos de Poggendorff

Esta es una ilusión de nuestra invención que hemos bautizado como los cubos de Poggendorff ya que tiene cierto paralelismo con la ilusión de Poggendorff, sólo que en este caso no funciona con líneas sino con la representación de un objeto tridimensional. En nuestra opinión el cubo de la derecha parece más bajo que el de la izquierda. ¿Funciona para vosotros?

Esta es la misma imagen pero recuadrada, para que se vea que realmente las líneas están a la misma altura.

Breve historia de las paradojas geométricas

Con "Paradojas geométricas" nos referimos a un tipo clásico de acertijo en el que, al reordenar las piezas que forman una figura, parece perderse parte de su superficie o alguno de sus elementos.

(Cromo de cigarrillos de la marca Gallaher, 1933. Fuente: colección propia).

La primera paradoja geométrica relacionada con el área parece que fue casual y data de de 1566, cuando Sebastiano Serlio en su "Libro primo d'architettura" facilitaba un truco para, a partir de un tablero de 3x10, conseguir uno de 7x4 (en el blog de Mariano Tomatis hay una traducción del texto al inglés). Esta es la imagen original:

(Fuente: Google Books)

Aunque es más intuitivo si comenzamos con el tablero original, formado por dos grandes triángulos que se desplazan. Lo llamativo es que Serlio no se percató de que al formar el rectángulo de 4x7 sobraban dos triángulos de 3x1 por lo que el área total ¡pasaba de ser 30 a ser 31!

(Elaboración propia a partir de la imagen original)

Según cuenta Greg N. Frederickson (en su libro "Dissections: Plane & Fancy", la "biblia" de los problemas de disecciones) al año siguiente otro arquitecto italiano, Pietro Cataneo, publicó el error de Serlio al tiempo que planteaba una alternativa al problema original de Serlio que no presentaba paradoja alguna.

Pero la popularidad de las paradojas geométricas llegó a finales del S.XVIII cuando William Hooper publicó en sus "Rational Recreations" la que desde entonces se conoce como paradoja de Hooper:

(Fuente: Google Books)

Partiendo de la cuadrícula 3x10, cortamos por la diagonal así como por los segmentos EF y GH. Reagrupando los trapecios por un lado y los triángulos por otro, se forman dos figuras cuyas áreas suman 20+12=¡32!

Hoy parece claro que Hooper obtuvo esta paradoja de las Nouvelles récréations physiques et mathématiques de Edmé Gilles Guyot publicadas en 1769:

(Reorganizado respecto a la imagen original. Fuente: Cnum)

Hasta tal punto llegó la inspiración que, como bien explica Mariano Tomatis, Guyot puso en la primera edición una figura incorrecta que Hooper repitió, y, cuando el primero corrigió el error, también lo hizo el segundo. Esta es la figura incorrecta, con el segundo rectángulo demasiado grande.

(Fuente: Google Books)

Otra paradoja geométrica famosa es la del "tablero de ajedrez". Al diseccionar adecuadamente un cuadrado de lado 8 puede reordenarse en un tablero de 13x5. Parece que quien la publicó en primer lugar fue probablemente Oskar Schlömilch en 1868:

Fuente: Google Books

Aunque hay dudas de si alguno de los grandes creadores de acertijos pudo ser el verdadero creador de la paradoja. La imagen siguiente se encontraba entre los papeles de Lewis Carroll y su sobrino y biógrafo oficial Stuart Dodgson Collingwood lo incluyó en el libro "Lewis Carroll Picture Book" como uno de sus acertijos favoritos.

(Fuente: Archive.org)

Por lo que se sabe, Carroll debió ocuparse del problema en sus últimos años, hacia 1890, por lo que no sería el autor del mismo, si bien lo generalizó mediante ecuaciones que facilitaban las posibles dimensiones que podían tener los cuadrados que admitieran disecciones de este tipo. Dichas ecuaciones han sido estudiadas por Warren Weaver en el artículo "Lewis Carroll and a geometrical paradox" (American Mathematical Monthly, abril 1938).

El otro genio de los acertijos que, él sí, se declaró autor del acertijo fue Sam Loyd, si bien Loyd es tan conocido por su talento para crear acertijos como por su facilidad para sacarles provecho, por lo que hay que poner en dato en entredicho. En su Cyclopedia aparece una versión de la paradoja y en el texto se explicita que Loyd lo presentó en el American Chess Congress de 1958 (10 años antes de la publicación de Schlömilch). Hay testigos de la presencia de Loyd en ese congreso (¡con sólo 17 años!) pero nadie recuerda que presentara ese acertijo.

(Fuente: Mathpuzzle)

Al menos en la Cyclopedia sí que se añade una segunda solución (parece que debida a Sam Loyd Jr., editor del caótico libro) en la que, en lugar de los 65 rectángulos, se obtienen ¡63!

(Fuente: Mathpuzzle)

Otro gran "monstruo" de los acertijos, Henry E. Dudeney, introdujo esta curiosa versión de la paradoja del tablero de ajedrez en su libro "Amusements in Mathematics": cortado el tablero en diagonal, deslizamos las dos mitades y recolocamos el pequeño triángulo marcado como C, con lo que de nuevo perdemos una unidad de superficie, de 64 a 63.

(Fuente: The Project Gutenberg)

Loyd incluye en su Cyclopedia una versión más historiada (y más difícil de descubrir pues utiliza un cuadrado de lado 24) de esta idea, que dice haber planeado en su más tierna juventud, por lo que de nuevo arroja dudas sobre si fue el primero en plantearla.

(Fuente: Mathpuzzle)

Donde no cabe duda de la aportación de Sam Loyd al género es en el capítulo de paradojas donde desaparece un personaje. En 1896 publicó el que es quizá el más famoso puzzle de desaparición: "Get off the earth" (al girar el planeta un cierto ángulo, uno de los hombrecillos desaparecía). Para muchos (entre ellos Gardner) es la mayor creación de Loyd. Se vendieron más de 10 millones de ejemplares del puzzle y hasta se utilizó para la campaña presidencial de William McKinley.

(Fuente: Jerry Slocum Mechanical Puzzle Collection.

Uso no comercial autorizado)

Loyd ideó otros puzzles similares en los que cambiaban los personajes y que pueden verse en su página oficial.

El otro gran tipo de paradoja geométrica de desaparición es la que suele llamarse Paradoja de Deland pues fue patentada por el mago Theodore Deland Jr. en 1907.

Al intercambiar las dos piezas de abajo, una carta desaparece. El ajuste dista mucho de ser muy preciso y además da la impresión de no ser tan original, dado que el que mostramos a continuación, según el experto en puzzles mecánicos Jerry Slocum, data de 1880:

(Fuente: Jerry Slocum Mechanical Puzzle Collection.

Uso no comercial autorizado)

Al reordenar las cuatro piezas que forman la imagen se pueden ver de forma sencilla 8, 9 o 10 huevos (pueden verse estas reorganizaciones en el blog de Mariano Tomatis o en Rob´s Puzzles Page). En la tarjeta también se asegura que se pueden formar 6, 7, 11 o 12 huevos pero quizá siendo más flexible con la forma de colocación (superponiendo piezas o ignorando algunas de ellas).

Se inspirara o no en la de los huevos que desaparecen, la paradoja de Deland sirvió de inspración para otras muchas durante el pasado siglo. Una de las más conocidas y que sirvió para revitalizar este tipo de acertijo fue la de los duendes que desaparecen, "The Vanishing Leprechaun", recogida por Gardner en "¡Ajá! paradojas que hacen pensar" en los años setenta pero que había sido elaborada en 1968 por Pat Lyons.

Era un dibujo formado por 15 duendes y, al intercambiar las piezas superiores, desaparecía uno de ellos. Lo que no sabíamos es que también se puede reorganizar de forma que ¡quedan 13!, tal y como se demuestra en este vídeo de yuikubo10.

Efectivamente, si a partir de la disposición de los 14 duendes, prolongamos la línea vertical que separa las piezas superiores, y dividimos la inferior en otras dos que intercambiamos, se generan 13 (casi perfectos).

Pero el propio Gardner en un libro anterior, "Mathematics, magic and mistery" (1956) ya había tratado a fondo el tema de las paradojas geométricas destacando el trabajo de Mel Stover, quien realizó varias versiones de la paradoja de Deland, entre las cuales quizá la más famosa sea la de los lápices, rescatada años después por Cliff Pickover.

(Fuente: Reality Carnival)

En el mismo libro de Gardner se habla del trabajo de Paul Curry, un mago que realizó otra de las paradojas geométricas más conocidas (en realidad, una especie de término medio entre las de pérdida de área y las de desaparición de un elemento), la que lleva su nombre.

(Fuente: Wikipedia)

En su versión más conocida, la reordenación de un triángulo trazado sobre una superficie cuadriculada produce la pérdida de uno de los cuadrados. A simple vista, se ve que las dos diagonales son diferentes, una es ligeramente cóncava y otra convexa, lo que explica las diferencias.

De los autores recientes, el que ha realizado sin duda un trabajo más interesante es Gianni Sarcone, quien ha realizado varias elegantes versiones de la paradoja de Deland, así como esta estupenda"Gallina mágica" que hubiera encantado a Curry.

(Fuente: Archimedes´Lab. Autorizado su uso no comercial)

En fin, aún dejándonos algunos ejemplos en el tintero, sólo queda añadir que si uno quiere realizar su propia paradoja geométrica lo tiene fácil, basta trazar unas líneas paralelas, cortar en diagonal y reajustar para perder una de ellas.

Esa "facilidad" se demuestra en que la paradoja trasciende al mundo de los juegos de lógica. Así, tanto Julio Cortázar en el segundo tomo de "La vuelta al día en ochenta mundos" como Martin Gardner en "¡Ajá! paradojas que hacen pensar", cuentan historias de falsificadores que trataron de, a partir de estos trucos, cortar billetes originales en pedacitos que luego pegaban, dejando fuera uno de ellos que luego servía para generar un billete extra.

Para que luego digan que la geometría no da dinero...

(Esta entrada participa en el Carnaval de Matemáticas edición 2.8. Además es uno de los primeros documentos que vamos a generar en el difícil pero apasionante reto de escribir una "Historia de la Matemática Recreativa").