Por lo que se sabe, Carroll debió ocuparse del problema en sus últimos años, hacia 1890, por lo que no sería el autor del mismo, si bien lo generalizó mediante ecuaciones que facilitaban las posibles dimensiones que podían tener los cuadrados que admitieran disecciones de este tipo. Dichas ecuaciones han sido estudiadas por Warren Weaver en el artículo "Lewis Carroll and a geometrical paradox" (American Mathematical Monthly, abril 1938).
El otro genio de los acertijos que, él sí, se declaró autor del acertijo fue
Sam Loyd, si bien Loyd es tan conocido por su talento para crear acertijos como por su facilidad para sacarles provecho, por lo que hay que poner en dato en entredicho. En su
Cyclopedia aparece una versión de la paradoja y en el texto se explicita que Loyd lo presentó en el
American Chess Congress de 1958 (10 años antes de la publicación de Schlömilch). Hay testigos de la presencia de Loyd en ese congreso (¡con sólo 17 años!) pero nadie recuerda que presentara ese acertijo.
Al menos en la Cyclopedia sí que se añade una segunda solución (parece que debida a Sam Loyd Jr., editor del caótico libro) en la que, en lugar de los 65 rectángulos, se obtienen ¡63!
Otro gran "monstruo" de los acertijos,
Henry E. Dudeney, introdujo esta curiosa versión de la paradoja del tablero de ajedrez en su libro "
Amusements in Mathematics": cortado el tablero en diagonal, deslizamos las dos mitades y recolocamos el pequeño triángulo marcado como C, con lo que de nuevo perdemos una unidad de superficie, de 64 a 63.
Loyd incluye en su Cyclopedia una versión más historiada (y más difícil de descubrir pues utiliza un cuadrado de lado 24) de esta idea, que dice haber planeado en su más tierna juventud, por lo que de nuevo arroja dudas sobre si fue el primero en plantearla.
Donde no cabe duda de la aportación de
Sam Loyd al género es en el capítulo de paradojas donde desaparece un personaje. En 1896 publicó el que es quizá el más famoso
puzzle de desaparición: "
Get off the earth" (al girar el planeta un cierto ángulo, uno de los hombrecillos desaparecía). Para muchos (entre ellos
Gardner) es la mayor creación de Loyd. Se vendieron más de 10 millones de ejemplares del puzzle y hasta se utilizó para la campaña presidencial de
William McKinley.
Loyd ideó otros puzzles similares en los que cambiaban los personajes y que pueden verse en su
página oficial.
El otro gran tipo de paradoja geométrica de desaparición es la que suele llamarse
Paradoja de Deland pues fue patentada por el mago
Theodore Deland Jr. en 1907.
Al intercambiar las dos piezas de abajo, una carta desaparece. El ajuste dista mucho de ser muy preciso y además da la impresión de no ser tan original, dado que el que mostramos a continuación, según el experto en
puzzles mecánicos
Jerry Slocum, data de 1880:
Al reordenar las cuatro piezas que forman la imagen se pueden ver de forma sencilla 8, 9 o 10 huevos (pueden verse estas reorganizaciones en el blog de Mariano Tomatis o en Rob´s Puzzles Page). En la tarjeta también se asegura que se pueden formar 6, 7, 11 o 12 huevos pero quizá siendo más flexible con la forma de colocación (superponiendo piezas o ignorando algunas de ellas).
Se inspirara o no en la de los huevos que desaparecen, la paradoja de Deland sirvió de inspración para otras muchas durante el pasado siglo. Una de las más conocidas y que sirvió para revitalizar este tipo de acertijo fue la de los duendes que desaparecen, "
The Vanishing Leprechaun", recogida por Gardner en
"¡Ajá! paradojas que hacen pensar" en los años setenta pero que había sido elaborada en 1968 por
Pat Lyons.
Era un dibujo formado por 15 duendes y, al intercambiar las piezas superiores, desaparecía uno de ellos. Lo que no sabíamos es que también se puede reorganizar de forma que ¡quedan 13!, tal y como se demuestra en este vídeo de
yuikubo10.
Efectivamente, si a partir de la disposición de los 14 duendes, prolongamos la línea vertical que separa las piezas superiores, y dividimos la inferior en otras dos que intercambiamos, se generan 13 (casi perfectos).
Pero el propio Gardner en un libro anterior, "
Mathematics, magic and mistery" (1956) ya había tratado a fondo el tema de las paradojas geométricas destacando el trabajo de
Mel Stover,
quien realizó varias versiones de la paradoja de Deland, entre las cuales quizá la más famosa sea la de los lápices, rescatada años después
por Cliff Pickover.
En el mismo libro de Gardner se habla del trabajo de
Paul Curry, un mago que realizó otra de las paradojas geométricas más conocidas (en realidad, una especie de término medio entre las de pérdida de área y las de desaparición de un elemento), la que lleva su nombre.
En su versión más conocida, la reordenación de un triángulo trazado sobre una superficie cuadriculada produce la pérdida de uno de los cuadrados. A simple vista, se ve que las dos diagonales son diferentes, una es ligeramente cóncava y otra convexa, lo que explica las diferencias.
En fin, aún dejándonos algunos ejemplos en el tintero, sólo queda añadir que si uno quiere realizar su propia paradoja geométrica lo tiene fácil, basta trazar unas líneas paralelas, cortar en diagonal y reajustar para perder una de ellas.
Para que luego digan que la geometría no da dinero...
(Esta entrada participa en el
Carnaval de Matemáticas edición 2.8. Además es uno de los primeros documentos que vamos a generar en el difícil pero apasionante reto de escribir una "Historia de la Matemática Recreativa").